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18.2特殊的平行四边形18.2.1矩形两组对边分别平行的四边形是平行四边形ABCD四边形ABCD如果AB∥CDAD∥BCBD□ABCDAC平行四边形的性质：边平行四边形的对边平行.平行四边形的对边相等.角平行四边形的对角相等.平行四边形的邻角互补.对角线平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的判定：边两组对边分别平行的四边形.两组对边分别相等的四边形.角两组对角分别相等的四边形.对角线对角线互相平分的四边形.一组对边平行且相等的四边形.平行四边形的判定定理：2.掌握矩形的性质与判定.3.掌握直角三角形斜边上的中线的性质.4.综合运用矩形的性质、判定等知识，解决简单的证明和计算.1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系.我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样，对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形→矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形的定义：平行四边形矩形有一个角是直角矩形是特殊的平行四边形具备平行四边形所有的性质ABCDO角边对角线对边平行且相等对角相等对角线互相平分矩形的一般性质：矩形是特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？猜想1：矩形的四个角都是直角．猜想2：矩形的对角线相等．ABCD求证：矩形的四个角都是直角．已知：如图，四边形ABCD是矩形求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°ABCD证明：∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°.又∵矩形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C，∠B=∠D,∠A+∠B=180°,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.即矩形的四个角都是直角.已知：如图,四边形ABCD是矩形.求证：AC=BD.ABCD证明：在矩形ABCD中.∵∠ABC=∠DCB=90°,又∵AB=DC，BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=BD，即矩形的对角线相等.求证:矩形的对角线相等.矩形的特殊性质矩形的四个角都是直角．矩形的对角线相等．从角上看：从对角线上看：【归纳】矩形的两条对角线互相平分矩形的两组对边分别相等矩形的两组对边分别平行矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等边对角线角矩形的性质【归纳】1.四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？OABCD公平,因为OA=OC=OB=OD【跟踪训练】∵∠ABC=90°,∴□ABCD是矩形,2.已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证:BO=ACOCBAD证明:延长BO至D,使OD=BO,连接AD,DC.∵AO=OC,BO=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.∴AC=BD,∴BO=BD=AC.211212直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.应用格式：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.∴BO=AC.12OCBA【归纳】【例】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长.∴AC与BD相等且互相平分,∴OA=OB.∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB=4㎝,∴矩形对角线的长AC=BD=2OA=8㎝.【解析】∵四边形ABCD是矩形,DCBAo【例题】1.已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°D【跟踪训练】DCBA┓2.已知△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3㎝，则AC＝_______㎝.(2)若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝_______㎝，BD＝_______㎝.6510定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形.（方法一）你还有其他的判定方法吗？平行四边形ABCD中∠A=90°四边形ABCD是矩形∵∴（已知），（矩形的定义）.几何语言：平行四边形矩形ABCDABCD怎样判定一个四边形是矩形？实验：李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.你能证明上述结论吗？矩形的判定方法：有三个角是直角的四边形是矩形ABCD∵∠A=∠B=∠C=90°（已知），∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.几何语言：实验：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.证明∴AB=CD,BC=AD（平行四边形对边相等）.∴△ABC≌△DCB（SSS），∵四边形ABCD是平行四边形（已知）.在△ABC和△DCB中AB=CD（已证），BC=BC（公共边），AC=BD（已知），∴∠ABC=∠DCB（全等三角形对应角相等）.又∵∠ABC+∠DCB=180°（平行四边形邻角互补），∴∠ABC=90°（等式的性质）.又∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义）.ABCD命题：对角线相等的平行四边形是矩形.已知：平行四边形ABCD，AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形矩形的判定方法：几何语言：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形（已知），∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.ABCDO矩形的判定方法有哪些？有一个角是直角的平行四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.方法一：方法二：方法三：【归纳】【跟踪训练】判断：•对角线相等的四边形是矩形。•对角线互相平分且相等的四边形是矩形。•有一个角是直角的四边形是矩形。•四个角都是直角的四边形是矩形。•四个角都相等的四边形是矩形。•对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形。•对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。通过本节课的学习，我们需要掌握：1.矩形的性质.2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3.矩形的判定方法.····,所以斜边上的中线长为6.5.2.如图，要使□ABCD成为矩形，需添加的条件是()A.AB=BCB.AC⊥BDC.∠ABC=90°D.∠1=∠2【解析】选C.因为有一个角是直角的平行四边形是矩形.3.（温州·中考）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.与△ABC全等的三角形有：△DCB，△BAD，△CDA，△DCE共4个.4.(哈尔滨·中考)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE=20°,那么∠EFC′的度数为_____度.【解析】由折叠可知，∠DEF=∠BEF，∠EFC=∠EFC′.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=∠C=90°.又∠ABE=20°,∴∠AEB=70°,∴∠DEF=55°.在四边形EFCD中，∠EFC=125°,∴∠EFC′=125°.答案：1255.（河北·中考）如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD=6，点A对应的数为-1，则点B所对应的数为___.【解析】在矩形ABCD中，CD=6，∴AB=6.又点A对应的数为-1.∴点B所对应的数为5.答案：56.如图，MN∥PQ，同旁内角的平分线AB,CB和AD,CD分别相交于点B,D．（1）猜想线段AC和BD间的关系是______.（2）证明你的猜想．【解析】（1）相等(2)证明:∵MN∥PQ,AB,CB分别是∠MAC,∠PCA的平分线，∴∠BAC+∠ACB=90°.∴∠ABC=90°.同理∠ADC=90°.∵CB,CD分别是∠PCA,∠QCA的平分线，∴∠BCA+∠DCA=90°，∴∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形.∴AC=BD.人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。——席慕容