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18.1.1平行四边形的性质第2课时【基础梳理】平行四边形对角线的性质(1)如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD__BC,AD∥BC,由AD∥BC,可得∠OAD=______,∠ODA=______,∴△AOD≌______,∴OA=___,OB=___.(2)平行四边形的对角线_________.=∠OCB∠OBC△COBOCOD互相平分【自我诊断】(1)平行四边形的一边长是10,那么它的对角线长可能是()A.4和6B.6和8C.8和10D.10和12D(2)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,AC,BD相交于点O.若AC=6,则线段AO的长度等于__.3(3)如图,在平行四边形ABCD中,AD=5cm,AB⊥BD,点O是两条对角线的交点,OD=2cm,则AB=__cm.3知识点一平行四边形的对角线性质的应用【示范题1】如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点,连接BE,DF.(1)根据题意,补全图形.(2)求证:BE=DF.【备选例题】已知:▱ABCD的对角线AC,BD相交于O,M是AO的中点,N是CO的中点,求证:BM∥DN,BM=DN.【证明】∵四边形ABCD为平行四边形,∴AO=OC,DO=OB.∵M为AO的中点,N为CO的中点,∴MO=ON.在△OMB与△OND中∴△OMB≌△OND(SAS),∴BM=DN,∠3=∠4,∴BM∥DN.【微点拨】平行四边形性质的应用知识点二平行四边形性质的综合应用【示范题2】如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F,连接EC.(1)求证:OE=OF.(2)若EF⊥AC,△BEC的周长是10,求▱ABCD的周长.【思路点拨】(1)根据平行四边形的性质得出OD=OB,DC∥AB,推出∠FDO=∠EBO,证出△DFO≌△BEO即可.(2)由平行四边形的性质得出AB=CD,AD=BC,OA=OC,由线段垂直平分线的性质得出AE=CE,由已知条件得出BC+AB=10,即可得出▱ABCD的周长.【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,DC∥AB,∴∠FDO=∠EBO,在△DFO和△BEO中,∴△DFO≌△BEO(ASA),∴OE=OF.(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,∵EF⊥AC,∴AE=CE,∵△BEC的周长是10,∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10,∴▱ABCD的周长=2(BC+AB)=20.【微点拨】平行四边形的性质(1)边:对边平行且相等.(2)角:对角相等,邻角互补.(3)对角线:①两条对角线互相平分.②两条对角线把平行四边形分成四个三角形,它们的面积相等,且相对的两个三角形全等.【纠错园】如图所示,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,求证:OE=OF.【错因】本题只告诉OE⊥AB,OF⊥CD,没有告诉点E,O,F在一条直线上,得出∠AOE=∠COF是错误的.