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2平行四边形的判定第3课时【基础梳理】1.平行线之间的距离(1)定义若两条直线互相_____,则其中一条直线上_____一点到另一条直线的距离都_____,这个距离称为平行线之间的距离.平行任意相等(2)符号语言如图,E,N为直线a上任意两点且直线a∥b,EF⊥b,NM⊥b,垂足分别为F,M,则EF=___.(3)夹在两平行线间的平行线段_____.MN相等2.平行四边形的性质及判定的综合应用,要从___、___、_______三个角度考虑.角对角线边【自我诊断】1.下列说法不正确的是()A.有两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.平行四边形的对角线互相平分C.平行四边形的对角互补,邻角相等D.平行四边形的对边平行且相等C2.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,AC,BD相交于点O.若AC=6,则线段AO的长度等于__.3知识点一平行线之间的距离【示范题1】如图,四边形ABCD是平行四边形,DF⊥BC于点F,BE⊥CD于点E,下列说法正确的是________.(填序号)①AB=CD;②∠A=∠C;③DF=BE;④AB,CD之间的距离是线段BE;⑤AD,BC之间的距离是线段DF的长.【思路点拨】根据平行四边形的性质及平行线间的距离的概念判断.【自主解答】由平行四边形的对边相等,对角相等可知①②正确;虽然AB和DC,AD和BC分别是两组平行线,但它们之间的距离不一定相等,所以③错误;AB,CD之间的距离是线段BE的长度,而不是“线段BE”,故④错误;由平行线之间的距离的概念可知⑤正确.答案:①②⑤【互动探究】辨析:点到点的距离;点到线(直线、线段、射线)的距离;两平行线之间的距离.提示:点到点的距离是两点间线段的长度;点到线的距离是过该点向该线(或该线所在的直线)作垂线,所得垂线段的长度;两平行线之间的距离是在其中一线上任取一点过该点向另一线作垂线所得垂线段的长度.【备选例题】如图,AE∥BD,BE∥DF,AB∥CD,下面给出四个结论:(1)四边形ABDC是平行四边形.(2)BE=DF.(3)S四边形ABDC=S四边形BDFE.(4)BD=CE.其中正确的是________.(填序号)【解析】由已知可得,四边形ABDC和四边形BDFE都是平行四边形,故(1)(2)正确;又因为四边形ABDC和四边形BDFE同底等高,所以面积相等,故(3)正确;BD=AC=EF与CE不一定相等,故(4)错误.答案:(1)(2)(3)【微点拨】平行线之间的距离概念辨析注意:平行线之间的距离是指其中一条直线上的点到另一条直线的距离,是垂线段的长度,而不是垂线段.作法:从其中一条直线上任意找一点,向另一条直线作垂线,垂线段的长度即平行线之间的距离.知识点二平行四边形性质和判定的综合应用【示范题2】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以AB,AC为底边向△ABC的外侧作等腰△ABD和等腰△ACE,且AD⊥AC,AB⊥AE,DE和AB相交于点F.试探究线段FD,FE的数量关系,并加以证明.【思路点拨】通过利用等腰三角形的性质,构建平行四边形.先根据平行四边形的判定,证明所构建的图形是平行四边形,从而得出答案.【解析】猜想:DF=FE.证明:过点D作DN⊥AB于点N,连接NE.∵DA=DB,DN⊥AB,∴BN=AN,过点N作NG⊥AC于点G,连接GE,∴∠NGA=90°,∵∠BCA=90°,∴NG∥BC,∵BN=AN,∴CG=GA,∵CE=AE,∴EG⊥AC,∴N,G,E在一条直线上,∵DA⊥CA,NE⊥AC,∴NE∥AD,又∵DN⊥AB,EA⊥BA,∴DN∥EA,∴四边形DNEA是平行四边形,∴DF=EF(平行四边形对角线互相平分).【互动探究】证明两条线段相等有哪些方法可考虑?提示:1.等角对等边.2.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.3.全等三角形的对应边相等.4.等于同条线段的两条线段相等.5.平行四边形的对边相等,对角线互相平分.6.角平分线上一点,到角的两边距离相等.7.运用数式运算证明线段相等.【微点拨】平行四边形的性质和判定的联系和区别1.联系:平行四边形的性质定理和判定定理互为逆定理.2.区别:平行四边形的性质是已知四边形是平行四边形,得出边、角、对角线的性质;平行四边形的判定是由四边形的边、角、对角线的相关性质得出四边形为平行四边形.【纠错园】已知直线a∥b∥c,且a与b之间的距离为6cm,b与c之间的距离为10cm,则a与c之间的距离为________cm.【错因】漏掉一种情况.