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习题课1平抛运动的三类模型平抛运动与斜面结合模型[知识贯通]1．模型构建两类与斜面结合的平抛运动(1)物体从斜面上某一点水平抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。(2)做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角。2．求解思路已知信息实例处理思路速度方向垂直打到斜面上的平抛运动(1)确定速度与竖直方向的夹角θ，画出速度分解图。(2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析vx、vy。(3)根据tanθ＝列式求解。位移方向从斜面上一点水平抛出后落回在斜面上的平抛运动(1)确定位移与水平方向的夹角θ，画出位移分解图。(2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析x、y。(3)根据tanθ＝列式求解。vxvyyx[集训联通][典例1][多选]如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta小球恰好落在斜面底端P处；今在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点q处。若不计空气阻力，下列关系式正确的是()A．va＝vbB．va＝2vbC．ta＝tbD．ta＝2tb[解析]做平抛运动的小球的运动时间由竖直方向的高度决定，即t＝2hg，从a处抛出的小球下落的高度是从b处抛出的小球的2倍，有ta＝2tb，选项C错误，D正确；水平方向的距离由下落的高度和初速度共同决定，即x＝v02hg，由题意得从a处抛出的小球的水平位移是从b处抛出的小球的2倍，可知va＝2vb，选项A错误，B正确。[答案]BD[即时训练]1．(2019·威海高一检测)如图所示，在斜面顶端的A点以速度v平抛一小球，经t1时间落到斜面上B点处，若在A点将此小球以速度0.5v水平抛出，经t2落到斜面上的C点处，以下判断正确的是()A．t1∶t2＝4∶1B．AB∶AC＝4∶1C．AB∶AC＝2∶1D．t1∶t2＝2∶1解析：平抛运动竖直方向上的位移和水平方向上的位移的比值tanθ＝yx＝12gt2v0t＝gt2v0，则t＝2v0tanθg。知运动的时间与初速度成正比，所以t1∶t2＝2∶1；竖直方向上下落的高度h＝12gt2，知竖直方向上的位移之比为4∶1；斜面上的距离s＝hsinθ，知AB∶AC＝4∶1，故B正确，A、C、D错误。答案：B2．一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为()A．tanθB．2tanθC.1tanθD.12tanθ解析：如图所示，设小球抛出时的初速度为v0，运动时间为t，则vx＝v0，vy＝v0tanθ，vy＝gt，x＝v0t，y＝vy22g，联立以上各式得yx＝12tanθ，D正确。答案：D3.如图所示，水平面上固定一个斜面，从斜面顶端向右平抛一只小球，当初速度为v0时，小球恰好落到斜面底端，飞行时间为t0。现用不同的初速度v从顶端向右平抛这只小球，以下能正确表示平抛的飞行时间t随v变化的关系是()解析：当小球落在斜面上时，有：tanθ＝hx＝12gt2vt＝gt2v，解得：t＝2vtanθg，与速度v成正比。当小球落在地面上，根据h＝12gt2，解得：t＝2hg，可知运动时间不变。所以t与v的关系图线先是过原点的一条倾斜直线，然后是平行于横轴的直线，故A正确，B、C、D错误。答案：A类平抛运动模型[知识贯通]1．运动建模当一种运动和平抛运动特点相似，即合外力恒定且与初速度方向垂直的运动都可以称为类平抛运动。2．模型特点3．分析方法与平抛运动的处理方法一致，将运动分解成沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的由静止开始的匀加速直线运动。[集训联通][典例2]如图所示，光滑斜面长L＝10m，倾角为30°，一小球从斜面的顶端以v0＝10m/s的初速度水平射入，求：(g取10m/s2)(1)小球沿斜面运动到底端时的水平位移x；(2)小球到达斜面底端时的速度大小。[解析](1)小球在斜面上沿v0方向做匀速直线运动，沿垂直于v0方向做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有mgsin30°＝ma，又L＝12at2解得t＝2Lgsin30°所以x＝v0t＝v02Lgsin30°＝20m。(2)小球运动到斜面底端时的速度大小用v表示，则有vx＝v0＝10m/s，vy2＝2aL＝2gsin30°·L＝gL故v＝vx2＋vy2＝102m/s。[答案](1)20m(2)102m/s[规律方法]解类平抛运动问题的步骤(1)分析物体的初速度与受力情况，确定物体做类平抛运动，并明确物体两个分运动的方向。(2)利用两个分运动的规律求解分运动的速度和位移。(3)根据题目的已知条件和要求解的量充分利用运动的等时性、独立性、等效性解题。[即时训练]如图所示，质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)。今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h。求：(1)飞机受到的升力大小；(2)在高度h处飞机的速度大小。解析：(1)飞机水平速度不变：l＝v0t，竖直方向加速度恒定：h＝at22，消去t解得a＝2hv02l2，由牛顿第二定律：F＝mg＋ma＝mg1＋2hv02gl2。(2)在高度h处，飞机竖直方向的速度vy＝at＝2hv0l则速度大小：v＝v02＋vy2＝v01＋4h2l2。答案：(1)mg1＋2hv02gl2(2)v01＋4h2l2平抛运动中的临界模型[知识贯通]1．模型特点(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述过程中存在临界点。(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”“取值范围”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。2．求解思路(1)画出临界轨迹，找出临界状态对应的临界条件。(2)分解速度或位移。(3)列方程求解结果。[集训联通][典例3]如图所示，水平房顶高H＝5m，墙高h＝3.2m，墙到房子的距离l＝3m，墙外马路宽d＝10m。欲使小球从房顶水平飞出落在墙外的马路上，求小球离开房顶时的速度v0应满足的条件。(墙的厚度不计，g取10m/s2)[解析]如图甲所示，设球刚好触墙而过时小球离开房顶的速度为v1，则小球自房顶飞出后做平抛运动到达墙头时，水平位移大小为l，竖直位移大小为(H－h)，则y＝H－h＝(5－3.2)m＝1.8m，由y＝12gt12得小球自飞出后运动到墙头所用的时间为t1＝2yg＝2×1.810s＝0.6s，由l＝v1t1得小球离开房顶时的速度为v1＝lt1＝30.6m/s＝5m/s。设小球飞出后恰好落在墙外的马路边缘时离开房顶的速度为v2，如图乙所示，此过程水平位移大小为(l＋d)，竖直位移大小为H，则小球在空中的飞行时间t2满足H＝12gt22，则t2＝2Hg＝2×510s＝1s，由l＋d＝v2t2得v2＝l＋dt2＝3＋101m/s＝13m/s，即小球恰好落在马路边缘时从房顶飞出的速度大小为13m/s。综上分析知，欲使小球离开房顶后能落在马路上，则小球离开房顶时的速度v0应满足v1≤v0≤v2，即5m/s≤v0≤13m/s。[答案]5m/s≤v0≤13m/s[易错警示]对于有障碍物的平抛运动，要分析清楚障碍物对水平及竖直位移的影响，再代入公式进行计算，不能把题中数据盲目地代入公式。[即时训练]1．[多选]乒乓球在我国有广泛的群众基础，并有“国球”的美誉，现讨论乒乓球发球问题。已知球台长为L，网高为h，若球在球台边缘O点正上方某高度处，以一定的垂直球网的水平速度发出，如图所示，球恰好在最高点时越过球网。假设乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。则根据以上信息可以求出(设重力加速度为g)()A．球的初速度大小B．发球时的高度C．球从发出到第一次落在球台上的时间D．球从发出到被对方运动员接住的时间解析：根据题意可知，乒乓球在球台上的运动轨迹具有重复性和对称性，即发球高度等于网高，故发球时的高度等于h；从发球到球运动到P1点的水平位移等于14L，根据平抛运动的规律可以求出球的初速度大小，也可以求出球从发出到第一次落在球台上的时间。由于对方运动员接球的位置未知，所以无法求出球从发出到被对方运动员接住的时间，故A、B、C正确，D错误。答案：ABC2．[多选]刀削面是很多人喜欢的面食之一，因其风味独特而驰名中外。刀削面全凭刀削，因此得名。如图所示，将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用一刀片飞快地削下一片片很薄的面片，面片便飞向锅中。若面团到锅上沿水平面的竖直距离为0.8m，到锅最近的水平距离为0.5m，锅的半径为0.5m。要想使削出的面片落入锅中，则面片的水平速度可以是下列选项中的哪些(g取10m/s2)()A．1m/sB．2m/sC．3m/sD．4m/s解析：由h＝12gt2知，面片在空中的运动时间t＝2hg＝0.4s，而水平位移x＝v0t，故面片的初速度v0＝xt，将x1＝0.5m，x2＝1.5m代入得面片的最小初速度v01＝x1t＝1.25m/s，最大初速度v02＝x2t＝3.75m/s，即1.25m/s≤v0≤3.75m/s，选项B、C正确。答案：BC3．[多选]在某次比赛中，排球发球员将排球从底线A点的正上方以某一速度水平发出，排球正好擦着球网落在对方底线的B点上，且AB平行于边界CD。已知网高为h，球场的长度为s，不计空气阻力且排球可看成质点，则排球被发出时，击球点的高度H和水平初速度v分别为()A．H＝43hB．H＝32hC．v＝s3h3ghD．v＝s4h6gh解析：排球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，有x＝vt，则排球从初位置运动到网的位置与排球从初位置到落地的时间之比为t1∶t2＝s2∶s＝1∶2，排球在竖直方向上做自由落体运动，由h＝12gt2得，H－hH＝12gt1212gt22＝t12t22＝122＝14，解得H＝43h，故A正确，B错误；排球从被发出至落在B点的过程中有s＝vt，所以v＝st＝s2Hg＝s4h6gh，故C错误，D正确。答案：AD