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课标要求第3节向心加速度1．知道匀速圆周运动是变速运动，具有指向圆心的向心加速度。2．知道向心加速度的表达式。3．能根据问题情境选择合适的向心加速度表达式并会进行简单的计算。一、匀速圆周运动的加速度方向1．填一填(1)向心加速度：产生的加速度。(2)向心加速度的方向：总是指向。(3)匀速圆周运动的加速度方向：总是指向。2．判一判(1)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的。()(2)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度的方向总是指向圆心。()(3)物体做匀速圆周运动时，在相等时间内速度变化量是相同的。()向心力圆心圆心×√×3．想一想如图所示，一质点绕O点做匀速圆周运动，请思考：(1)质点在A点和B点时的加速度方向。(2)质点在A点的加速度方向与在B点的加速度方向相同吗？提示：(1)均指向圆心O。(2)不相同。二、匀速圆周运动的加速度大小1．填一填(1)向心加速度的大小与线速度大小的关系式：an＝____。(2)向心加速度的大小与角速度大小的关系式：an＝。v2rω2r2．判一判(1)物体做匀速圆周运动时加速度的大小不变。()(2)由an＝v2r可知，加速度an与半径r成反比。()(3)由an＝ω2r可知，加速度an与半径r成正比。()√××3．选一选物体做匀速圆周运动过程中，其向心加速度()A．大小、方向均保持不变B．大小、方向均时刻改变C．大小时刻改变、方向保持不变D．大小保持不变、方向时刻改变解析：做匀速圆周运动的物体其速度大小不变，由向心加速度公式an＝v2r可知其大小不变，向心加速度的方向始终指向圆心，故其方向时刻改变。故D正确。答案：D对向心加速度的理解[学透用活]1．物理意义：描述匀速圆周运动中线速度改变的快慢，只能表示速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。2．方向特点(1)指向圆心：无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心(或者说与线速度方向垂直)。(2)时刻改变：无论向心加速度的大小是否变化，向心加速度的方向随线速度方向的改变时刻改变，所以圆周运动的向心加速度是时刻改变的。3．匀速圆周运动中的“变”与“不变”(1)“不变”量：匀速圆周运动的角速度、周期、转速不变，线速度、加速度这两个矢量的大小不变。(2)“变化”量：匀速圆周运动的线速度、加速度这两个矢量的方向时刻改变，故它们在时刻变化。4．变速圆周运动的向心加速度做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢。所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。[典例1]下列关于向心加速度的说法中正确的是()A．向心加速度的方向始终指向圆心B．向心加速度的方向保持不变C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化[解析]向心加速度的方向始终指向圆心，和线速度的方向垂直，不改变线速度的大小只是改变线速度的方向，由于加速度是矢量，因此向心加速度是时刻变化的，向心加速度大小不变，故B、C、D项错误，A项正确。[答案]A[对点练清]1．关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是()A．它描述的是线速度大小变化的快慢B．它描述的是线速度方向变化的快慢C．它描述的是物体运动的路程变化的快慢D．它描述的是角速度变化的快慢解析：向心加速度始终与线速度方向垂直，故向心加速度只表示线速度的方向改变的快慢，不表示线速度的大小改变的快慢，A、D错误，B正确；圆周运动中，线速度是描述物体运动路程变化快慢的物理量，C错误。答案：B2．下列关于匀速圆周运动的向心加速度的说法中，不正确的是()A．它的方向始终与线速度方向垂直B．它的大小是不断变化的C．它描述了线速度方向变化的快慢D．它的大小可以通过公式a＝v2r计算解析：向心加速度只改变线速度方向不改变线速度大小，所以向心加速度方向和线速度方向始终垂直，故A正确；向心加速度大小恒定，方向时刻指向圆心，故B错误；向心加速度描述了线速度方向变化的快慢，故C正确；它的大小可以通过公式a＝v2r计算，故D正确。答案：B3．(2019·唐山高一检测)我们习惯这样的自然现象“太阳下山明早依旧爬上来”。黎明，旭日东升；黄昏，夕阳西下。白天和黑夜周而复始，不断交替出现，我们习以为常的这种自然现象就是地球自转产生的。关于地球上的物体随地球自转，下列说法正确的是()A．在赤道上向心加速度最大B．在两极向心加速度最大C．在地球上各处向心加速度一样大D．在地球上各处线速度都一样大解析：地球自转时，各点绕地轴转动，具有相同的角速度，根据a＝rω2知，距地轴的距离越大，向心加速度越大，所以在赤道处的向心加速度最大，两极向心加速度最小，故A正确，B、C错误；根据公式v＝ωr可得，在地球上各处线速度跟圆周运动半径大小有关，故D错误。答案：A向心加速度公式的理解和应用[学透用活]1．公式an＝v2r该公式表明，对于匀速圆周运动，当线速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成反比；当半径一定时，向心加速度的大小与线速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及线速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的线速度相同的情景。2．公式an＝ω2r该公式表明，对于匀速圆周运动，当角速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成正比；当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及角速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的角速度相同的情景。3．公式拓展在以上两个公式的基础上，结合描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系，可得到以下公式：an＝ωv＝4π2T2r＝4π2n2r。4．向心加速度与半径的关系根据上面的讨论，加速度与半径的关系与物体的运动特点有关。若线速度一定，an与r成反比；若角速度(或周期、转速)一定，an与r成正比。如图所示。[典例2]如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的13。当大轮边缘上的P点的向心加速度是12m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？[解析]同一轮子上的S点和P点的角速度相同，即ωS＝ωP。由向心加速度公式an＝ω2r，得aSaP＝rSrP，故aS＝rSrPaP＝13×12m/s2＝4m/s2；又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ，由向心加速度公式an＝v2r，得aPaQ＝rQrP，故aQ＝rPrQaP＝2×12m/s2＝24m/s2。[答案]4m/s224m/s2[规律方法]向心加速度公式的应用技巧向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系。在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。[对点练清]1．(2019·东营高一检测)家用台式计算机上的硬磁盘的磁道如图所示，O点为磁道的圆心，A、B两点位于不同的磁道上，盘绕O点匀速转动时，A、B两点的向心加速度()A．大小相等，方向相同B．大小相等，方向不同C．大小不等，方向相同D．大小不等，方向不同解析：同轴转动角速度相同，根据向心加速度公式an＝ω2r，两点转动半径不同，故向心加速度大小不同，方向指向圆心，故方向也不同，故D正确。答案：D2.一轿车以30m/s的速率沿半径为60m的圆形跑道行驶。当轿车从A点运动到B点时，轿车和圆心的连线转过的角度θ＝90°，如图所示。求：(1)此过程中轿车位移的大小。(2)此过程中轿车运动的路程。(3)轿车运动的向心加速度的大小。解析：(1)轿车的位移为从初位置到末位置的有向线段，其大小为线段的长度s，s＝2R＝2×60m≈85m。(2)路程等于弧长，l＝Rθ＝60×π2m＝94.2m。(3)向心加速度的大小a＝v2R＝30260m/s2＝15m/s2。答案：(1)85m(2)94.2m(3)15m/s2一、圆周运动相关物理量之间的关系(科学思维)[选自鲁科版教材P66“第7题”][多选]如图所示，长为l的悬线一端固定在O点，另一端系一小球。在O点正下方C点钉一钉子，O、C间距离为l2。把悬线另一端的小球拉到跟悬点同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的()A．线速度突然增大为原来的2倍B．角速度突然增大为原来的2倍C．向心加速度突然增大为原来的2倍D．悬线拉力突然增大为原来的2倍解析：碰到钉子的瞬间，根据惯性可知，小球的速度不能发生突变，即线速度不变，故A错误；根据ω＝vR可知，半径减半，线速度不变，所以角速度变为原来的2倍，故B正确；小球的向心加速度a＝v2R，半径减半，故小球的向心加速度变为原来的2倍，故C正确；碰撞前，F－mg＝mv2R，故绳子拉力F＝mg＋mv2R，碰撞后，F′－mg＝mv2R2，解得F′＝mg＋2mv2R，故D错误。答案：BC二、典题好题发掘，练典题做一当十[选自鲁科版教材P64“例题”]一般飞行员能承受的最大向心加速度的大小约为6g。在飞行表演中，飞机某次水平转弯时，可视为在水平面内做匀速圆周运动。若飞机以150m/s的速度飞行，在该次水平转弯过程中向心加速度为6g，取重力加速度g＝9.8m/s2，飞机水平转弯半径至少为多少？[分析]飞机在转弯的过程中做匀速圆周运动，圆周运动的向心加速度与线速度及转弯半径有关，可根据向心加速度公式求解。[解]由题意可知，v＝150m/s，a＝6g＝6×9.8m/s2＝58.8m/s2。由a＝v2r得r＝v2a＝150258.8m＝382.7m。[讨论]飞机转弯半径与线速度和向心加速度有关。此题的转弯半径是针对比较极端情况的结果。对于客机，转弯半径的设计须考虑安全系数及乘客的舒适度等诸多因素，转弯半径通常较大。[策略提炼]认清向心加速度与线速度、角速度及半径的关系是解决此类问题的关键。注意根据已知量，选择恰当公式，求解未知量。[迁移]向心加速度由向心力产生。下面请分析解决涉及圆周运动的一些动力学问题。在图中，若水平圆台转动的角速度ω＝0.6rad/s，质量为30kg的小孩坐在距离轴心1m处随圆台一起转动。小孩的向心加速度为多大？小孩受到的静摩擦力为多大？[解析]由an＝ω2r可求得小孩的向心加速度an＝0.62×1m/s2＝0.36m/s2。小孩所受的静摩擦力提供小孩做圆周运动的向心力，可得：f＝man＝30×0.36N＝10.8N。[答案]0.36m/s210.8N