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第3节匀变速直线运动的位移与时间的关系学习目标：1.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系式，会用其解决实际问题.2.理解匀变速直线运动的速度与位移的关系.3.体会逆向思维法在解决实际问题中的应用．课前自主预习知识点一匀速直线运动与匀变速直线运动的位移知识点二匀速直线运动与匀变速直线运动的v－t图像知识点三匀变速直线运动的速度与位移的关系1．关系式v2－v20＝______.若v0＝0，则关系式为_____________.2．关系式的推导过程由匀变速直线运动的速度公式：v＝v0＋at和匀变速直线运动的位移公式：x＝v0t＋12at2相结合消去t而得．3．说明：v0、v、a都是矢量，方向不一定相同，应先规定________．通常选取v0的方向为正方向，对于匀加速运动，加速度a取正，对于匀减速运动，加速度a取负．2axv2＝2ax正方向4．应用特点如果问题的已知量和未知量不涉及_________，利用v2－v20＝2ax求解，往往会使问题变得简单、方便．时间t1．匀加速直线运动的位移是均匀增大的．()2．v－t图像上两图线的交点表示两物体此时相遇．()3．x－t图像上两图线的交点表示两物体相遇．()4．v－t图像中图线与时间轴所围的面积表示这段时间内物体的位移．()5．在匀变速直线运动中，中间时刻的速度一定小于该段时间内位移中点的速度．()6．同一直线上运动的两物体，若后者追上前者，则后者速度必须大于前者．()7．做匀加速直线运动的物体，位移越大，速度越大．()8．两物体同向运动恰好不相碰，则此时两物体速度相等．()[答案]1.×2.×3.√4.√5.√6.√7.×8.√运用初中数学课中学过的函数图像的知识，你能画出初速度为0的匀变速直线运动x＝12at2的x－t图像的草图吗？如果一位同学问：“我们研究的是直线运动，为什么你画出来的x－t图像不是直线？”你应该怎样向他解释？[答案]初速度为0的匀变速直线运动的位移与时间的关系为x＝12at2，x－t图像一定是一条曲线，如图所示．不同时刻所对应图像上点的斜率等于该时刻的速度，图像的斜率不断增大，表示速度不断增大．x－t图像表示位移随时间的变化规律，不是物体的运动轨迹．课堂互动探究要点一位移公式的理解和应用位移公式x＝v0t＋12at2中的x、v0、a皆为矢量，应用公式解题时，先规定正方向，一般选v0方向为正方向，若物体做匀加速直线运动，a与v0同向，a取正值．若物体做匀减速直线运动，a与v0反向，a取负值，若位移的计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相同．若位移的计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相反．【典例1】一辆汽车正在平直的公路上以72km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5m/s2，求：(1)开始制动后，前2s内汽车行驶的距离；(2)开始制动后，第5s汽车的速度大小；(3)开始制动后，前9s内汽车行驶的距离．[思路点拨](1)先计算物体实际的运动时间；(2)若求解小于运动时间内的情况，直接套用公式，若求解大于运动时间的情况，根据所提问题的情况具体计算．[解析]汽车的初速度v0＝72km/h＝20m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5m/s2，汽车运动的总时间t＝v－v0a＝0－20m/s－5m/s2＝4s(1)因为t1＝2st，所以汽车2s末没有停止运动，则x1＝v0t1＋12at21＝20×2－12×5×22m＝30m(2)因为t2＝5st，所以汽车5s时早已停止运动，所以速度为0(3)因为t3＝9st，汽车只行驶了4s就停止运动．解法一：x2＝v0t＋12at2＝20×4－12×5×42m＝40m解法二：用逆向思维法，即对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，a′＝－a＝5m/s2，x2＝12a′t2＝12×5×42m＝40m.解法三：x2＝v02t＝202×4m＝40m.[答案](1)30m(2)0(3)40m两类匀减速直线运动问题的对比两类运动图示技巧点拨刹车类(1)逆向思维法：可看成反向的初速度为零的匀加速直线运动(2)实事求是法：先计算物体实际的运动时间，然后根据所提问题的情况具体计算往返类(双向可逆类)例如：小球沿光滑斜面先上滑，后返回(1)对全程列式，注意x、v、a等矢量的正负号；(2)分段列式，先对匀减速阶段求解，后对反向的匀加速阶段求解1．一个以v0＝5m/s的初速度做直线运动的物体，自始至终有一个与初速度方向相反、大小为2m/s2的加速度，则当物体位移大小为6m时，物体已运动的时间不可能是()A．1sB．2sC．3sD．6s[解析]当位移方向与v0同向时，由x＝v0t＋12at2，解得t1＝2s，t2＝3s；当位移与v0反向时，由x＝v0t＋12at2，解得t3＝6s，故B、C、D都有可能，A不可能．[答案]A2．某物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为1m/s2，求：(1)物体在2s内的位移大小；(2)物体在第2s内的位移大小；(3)物体在第二个2s内的位移大小．[解析](1)由v0＝0，t1＝2s得x1＝12at21＝12×1×22m＝2m.(2)第1s末的速度(第2s初的速度)v1＝v0＋at2＝1m/s故第2s内的位移大小x2＝v1t3＋12at23＝1×1＋12×1×12m＝1.5m.(3)第2s末的速度v2＝v0＋at′＝1×2m/s＝2m/s，这也是物体在第二个2s内的初速度．故物体在第二个2s内的位移大小x3＝v2t″＋12at″2＝2×2＋12×1×22m＝6m.[答案](1)2m(2)1.5m(3)6m要点二匀变速直线运动的图像拓展1．v－t图像中“面积”的拓展理解对于任何形式的直线运动，物体在t时间内的位移都可以用v－t图线与t轴所包围的面积表示，如图所示．(1)当“面积”在t轴上方时，位移取正值，这表示物体的位移与规定的正方向相同．(2)当“面积”在t轴下方时，位移取负值，这表示物体的位移与规定的正方向相反．(3)物体的总位移等于各部分位移(正负面积)的代数和；物体通过的路程为t轴上、下“面积”绝对值的和．2．x－t图线形状的理解匀变速直线运动的位移公式为x＝v0t＋12at2，由数学知识可知，x－t图线为通过原点的抛物线的一部分．当物体做匀加速直线运动时，抛物线的开口向上，如图中的a所示；当物体做匀减速直线运动时，抛物线的开口向下，如图中的b所示．【典例2】某一做直线运动的物体的图像如图所示，根据图像求：(1)物体距出发点的最远距离；(2)前4s内物体的位移大小；(3)前4s内物体通过的路程．[思路点拨](1)t＝3s时物体速度方向将发生改变，此时位移最大；(2)利用v－t图像求位移一般采用“面积”法计算，即计算v－t图线与时间轴所围成的面积．[解析](1)物体距出发点最远的距离xm＝12v1t1得出：xm＝6m.(2)前4s内的位移x＝x1－x2＝12v1t1－12v2t2得出：x＝5m.(3)前4s内通过的路程s＝x1＋x2＝12v1t1＋12v2t2得出：s＝7m.[答案](1)6m(2)5m(3)7mv－t图像与x－t图像的比较由于图像能直观地表示出物理过程和各物理量之间的关系，所以在解题过程中被广泛应用．在运动学中，经常用到的有x－t图像和v－t图像．但需要注意的是，两种图像都不是物体运动的轨迹．(1)x－t图像用纵轴表示位移，横轴表示时间，根据描点作出的图线，描述的是做直线运动的物体位移随时间变化的规律．图像上某点的切线斜率表示该时刻物体的速度，斜率的大小，表示速度的大小；斜率为正值表示物体沿规定的正方向运动，斜率为负值，表示物体沿规定正方向的反方向运动．(2)v－t图像描述做直线运动物体的速度随时间变化的规律．图线上某点的切线斜率表示该时刻物体的加速度；某段时间图线与时间轴围成图形的面积值表示该段时间内物体通过的位移的大小．3．一物体的x－t图像如图所示，那么此物体的v－t图像可能是()[解析]因x－t图像的切线斜率表示速度，由题图可知0～t12时间内，图线的斜率为正且数值越来越小，在t12时刻图线斜率为0，即物体正向速度越来越小，在t12时刻减为零；t12～t1时间内，图线斜率为负且数值越来越大，即速度反向增大，比照v－t图像可知，只有A正确．[答案]A4．甲、乙两车某时刻由同一地点沿同一方向开始做直线运动，若以该时刻作为计时起点，得到两车的位移—时间图像如图所示，则下列说法正确的是()A．t1时刻甲车从后面追上乙车B．t1时刻两车相距最远C．t1时刻两车的速度刚好相等D．0到t1时间内，两车的平均速度相等[解析]解本题的关键是知道位移—时间图线的物理意义，知道图线的切线斜率表示瞬时速度，根据斜率的正负可以确定运动的方向，结合斜率的变化得出速度如何变化，根据位移和时间比较平均速度的大小．由图看出，t1时刻两车的纵坐标相等，表示两车相遇，乙车从后面追上甲车，故A、B错误．根据位移—时间图像的斜率的绝对值等于速度的大小可知，t1时刻乙的速度大于甲的速度，故C错误.0到t1时间内，两车的位移相等，时间也相等，则平均速度相等，故D正确．[答案]D要点三匀变速直线运动的速度与位移的关系1．公式的推导2．注意事项v2－v20＝2ax为矢量式，应用它解题时，一般先规定初速度v0的方向为正方向：(1)物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值．(2)位移x0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x0，说明位移的方向与初速度的方向相反．【典例3】一隧道限速36km/h.如图所示，一列火车长100m，以72km/h的速度行驶，驶至距隧道50m处开始做匀减速直线运动，以不高于限速的速度匀速通过隧道．若隧道长200m，求：(1)火车做匀减速直线运动的最小加速度；(2)火车全部通过隧道的最短时间．[思路点拨](1)因为题中不涉及时间，采用v2－v20＝2ax计算加速度简单方便；(2)火车驶至隧道时速度刚好为36km/h的情况下，火车做匀减速直线运动的加速度最小；(3)火车以36km/h的速度通过隧道用时最短．[解析](1)72km/h＝20m/s,36km/h＝10m/s当火车头到达隧道口的速度为36km/h时，加速度最小，设为a.由v2－v20＝2ax得a＝v2－v202x＝102－2022×50m/s2＝－3m/s2所以最小加速度大小为3m/s2，方向与行驶方向相反．(2)火车以36km/h的速度通过隧道，所需时间最短．火车通过隧道的位移为x′＝100m＋200m＝300m由x＝vt得t＝x′v＝30010s＝30s[答案](1)3m/s2，方向与行驶方向相反(2)30s解题时巧选公式的基本方法前提条件优先选用的规律如果题目中无位移x，也不需求位移速度公式v＝v0＋at如果题目中无末速度v，也不需求末速度位移公式x＝v0t＋12at2如果题中无运动时间t，也不需要求运动时间导出公式v2－v20＝2ax如果题目中没有加速度a，也不涉及加速度的问题平均速度公式：v＝xt＝v0＋v25．某航母跑道长200m．飞机在航母上滑行的最大加速度为6m/s2，起飞需要的最低速度为50m/s，那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为()A．5m/sB．10m/sC．15m/sD．20m/s[解析]设滑行前需要获得的最小初速度为v0，对飞机的起飞过程，由运动学公式v2－v20＝2ax知，当飞机以最大加速度a＝6m/s2匀加速运动且刚好达到最低起飞速度v＝50m/s时，初速度v0最小，解得v0＝10m/s，选项B正确．[答案]B6．随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显．分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍爱生命．某路段机动车限速为15m/s，一货车严重超载后的总质量为5.0×104kg，以15m/s的速度匀速行驶，发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度大小为5m/s2.已知货车正