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第3节匀变速直线运动的位移与时间的关系课标要求1．知道vt图像中图线与t轴所围成面积的意义，并由此推导出匀变速直线运动的位移公式。2.理解匀变速直线运动的位移公式，并能进行有关分析和计算。3．会推导速度与位移的关系式，并理解关系式中各物理量的含义。4.会用公式v2－v02＝2ax进行有关分析和计算。一、匀变速直线运动的位移1．填一填(1)位移在vt图像中的表示：直线运动的位移对应着vt图像中图线和时间轴包围的。如图所示的匀变速直线运动，在0～t1时间内的位移大小等于的面积。面积梯形(2)位移公式：x＝，式中x表示物体在时间t内运动的，v0表示，如果v0＝0，则x＝。v0t＋12at2位移初速度12at22．判一判(1)匀速直线运动的位移与时间成正比。()(2)匀变速直线运动的位移与时间的平方一定成正比。()(3)初速度越大，做匀变速直线运动的物体的位移一定越大。()(4)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关。()√××√3．选一选(1)两物体都做匀变速直线运动，在相同的时间间隔t内()A．加速度大的，其位移一定大B．初速度大的，其位移一定大C．末速度大的，其位移一定大D．平均速度大的，其位移一定大解析：根据公式x＝v0t＋12at2知，加速度大或初速度大，位移不一定大，故A、B错误；末速度大，位移不一定大，故C错误；根据x＝vt，时间一定，平均速度大，位移一定大，故D正确。答案：D(2)[多选]一物体运动的位移与时间的关系为x＝(6t＋4t2)m，则()A．这个物体的初速度为6m/sB．这个物体的初速度为12m/sC．这个物体的加速度为－8m/s2D．这个物体的加速度为8m/s2解析：根据匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋12at2，结合位移函数x＝(6t＋4t2)m，比较可得v0＝6m/s，a＝8m/s2，即物体做正方向的匀加速直线运动，故A、D正确，B、C错误。答案：AD二、速度与位移的关系1．填一填(1)公式推导：由匀变速直线运动的速度公式v＝、位移公式x＝消去时间t可得。v0＋atv0t＋12at2(2)速度与位移的关系式：。v2－v02＝2ax2．判一判(1)公式v2－v02＝2ax适用于所有的直线运动。()(2)解题过程中通常取初速度的方向为正方向，对匀减速直线运动，公式v2－v02＝2ax中的a必须取负值。()(3)由公式v2－v02＝2ax知，位移越大，物体的末速度一定越大。()(4)确定公式v2－v02＝2ax中的四个物理量的数值时，选取的参考系应该是统一的。()×√×√3．想一想如图所示，是“歼15”战机在“辽宁舰”上起飞的画面，若已知“歼15”战机的加速度为a，起飞速度为v。(1)如果“辽宁舰”静止在海上，应该如何来确定飞机跑道的最小长度？(2)如果“辽宁舰”以v0匀速航行呢？提示：(1)根据v2＝2ax，知飞机跑道的最小长度为x＝v22a。(2)根据v2－v02＝2ax，知飞机跑道的最小长度为x＝v2－v022a。突破点一位移公式x＝v0t＋12at2的理解及应用[学透用活]1．适用条件：匀变速直线运动。2．矢量性：公式x＝v0t＋12at2为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向。(1)匀加速直线运动，a取正值；匀减速直线运动，a取负值。(2)x＞0，表示位移的方向与规定的正方向相同；x＜0，表示位移的方向与规定的正方向相反。3．两种特殊形式(1)当a＝0时，x＝v0t(表示匀速直线运动)。(2)当v0＝0时，x＝12at2(表示初速度为零的匀加速直线运动)。[典例1]一质点做匀加速直线运动，第3s内的位移为12m，第5s内的位移为20m，则该质点运动过程中()A．初速度大小为零B．加速度大小为4m/s2C．5s内的位移为50mD．第4s内的平均速度为8m/s[解析]第3s内的位移等于前3s内位移与前2s内位移之差，即Δx3＝x3－x2＝12m，由匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋12at2，代入数据得v0×3＋12a×32－v0×2＋12a×22＝12①，同理可得第5s内的位移：Δx5＝v0×5＋12a×52－v0×4＋12a×42＝20m②，联立①②解得v0＝2m/s，a＝4m/s2，故A错误，B正确；5s内的位移为x＝v0t5＋12at52＝60m，C错误；第4s内的位移为Δx4＝x4－x3＝v0t4＋12at42－(v0t3＋12at32)＝16m，则第4s内的平均速度v＝Δx4t＝16m/s，D错误。[答案]B[规律方法]应用位移公式x＝v0t＋12at2的解题步骤(1)规定一个正方向(一般以初速度的方向为正方向)。(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示。(3)根据位移—时间关系式或其变形式列式、求解。(4)根据计算结果说明所求量的大小、方向。[典例2]飞机着陆做匀减速直线运动可获得a＝6m/s2的加速度，飞机着陆时的速度为v0＝60m/s，求飞机着陆后t＝12s内滑行的距离。[解析]设飞机从着陆到停止所需时间为t0，由速度公式v＝v0－at0，解得t0＝10s。即飞机在t＝12s内的前10s内做匀减速直线运动直到停止，后2s内保持静止。所以有x＝v0t0－12at02＝300m。(或x＝v022a＝300m)[答案]300m[易错警示]本题的易错点在于不考虑刹车问题的实际情况，盲目套用位移公式x＝v0t－12at2，将t＝12s直接代入导致错解x＝288m。解答该类问题时应先计算飞机多长时间停止运动，才能判断着陆后t＝12s内的运动情况。对于汽车刹车、火车进站、飞机着陆等过程都要注意上述问题。[对点练清]1．[多选]物体做初速度为零的匀加速直线运动，前2s内的位移是8m，则()A．物体的加速度是2m/s2B．物体的加速度是4m/s2C．物体前4s内的位移是32mD．物体前4s内的位移是16m解析：由x＝12at2，代入t＝2s、x＝8m得a＝4m/s2，故A错误，B正确；由x＝12at2，代入t＝4s、a＝4m/s2，得物体前4s内的位移x＝32m，故D错误，C正确。答案：BC2．汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5m/s2，那么开始刹车后2s与开始刹车后6s汽车的位移之比为()A．1∶4B．3∶4C．3∶5D．5∶9解析：汽车从刹车到停止的时间t0＝0－v0a＝0－20－5s＝4s2s，所以汽车前2s内的位移：x1＝v0t1＋12at12＝20×2m－12×5×22m＝30m；而6s＞4s,4s后汽车停止运动，所以汽车前6s内的位移等于前4s内的位移，x2＝v0t2＋12at22＝20×4m－12×5×42m＝40m，则x1x2＝34，故B正确。答案：B3．汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，某时刻关闭发动机而做匀减速直线运动，加速度大小为5m/s2，则它关闭发动机后通过37.5m所需时间为()A．3sB．4sC．5sD．6s解析：根据x＝v0t＋12at2，将v0＝20m/s，a＝－5m/s2，x＝37.5m，代入得：t1＝3s，t2＝5s。汽车减速到0的时间为t0＝0－v0a＝4s，所以t2＝5s应舍去。故选项A正确。答案：A突破点二公式v2－v02＝2ax的理解及应用[学透用活]1．适用条件：匀变速直线运动，尤其是不涉及时间t的问题。2．公式的意义：公式反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之间的关系，当其中任意三个物理量已知时，可求另一个未知量。3．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。一般选v0方向为正方向。4．两种特殊形式(1)当v0＝0时，v2＝2ax(表示初速度为零的匀加速直线运动)。(2)当v＝0时，－v02＝2ax(表示末速度为零的匀减速直线运动)。[典例3](2018·浙江4月选考)如图所示，竖井中的升降机可将地下深处的矿石快速运送到地面。某一竖井的深度为104m，升降机运行的最大速度为8m/s，加速度大小不超过1m/s2。假定升降机到井口的速度为0，则将矿石从井底提升到井口的最短时间是()A．13sB．16sC．21sD．26s[解析]升降机以最大加速度运行，且先匀加速至最大速度，后匀速运动，最后匀减速至速度为零的过程时间最短。升降机先加速上升，加速上升距离为h1＝v22a＝32m，加速时间为t1＝va＝8s；减速距离h3＝h1＝32m，减速时间t2＝t1＝8s，故中间匀速阶段h2＝40m，匀速时间t3＝h2v＝5s。所以t＝t1＋t2＋t3＝8s＋8s＋5s＝21s，C正确。[答案]C[对点练清]4．做匀加速直线运动的物体，速度从v增加到2v时经过的位移是s，则它的速度从v增加到3v时发生的位移是()A．2sB．2s3C.4s3D.8s3解析：根据匀变速直线运动的速度位移公式，速度从v增加到2v时，有：(2v)2－v2＝2as，速度从v增加到3v时，有：(3v)2－v2＝2as′，联立两式得：s′＝83s，故A、B、C错误，D正确。答案：D5.将固定在水平地面上的斜面分为四等份，如图所示，AB＝BC＝CD＝DE，在斜面的底端A点有一个小滑块以初速度v0沿斜面向上运动，刚好能到达斜面顶端E点。则小滑块向上运动经过D点时的速度大小是()A.v05B．v04C.v03D.v02解析：将末速度为零的匀减速直线运动看成初速度为零的匀加速直线运动，则v02－0＝2axEA、vD2－0＝2axED，又xEA＝4xED，解得：vD＝v02。故D项正确，A、B、C项错误。答案：D6．有些航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某型号的战斗机在跑道上加速时可能产生的最大加速度为5.0m/s2，当飞机的速度达到50m/s时，才能离开航空母舰起飞。设航空母舰处于静止状态。问：(1)若要求该飞机滑行160m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？(2)若航空母舰上不装弹射系统，要求该飞机仍能在航空母舰上正常起飞，则该航空母舰甲板长至少应为多少？解析：(1)根据公式v2－v02＝2ax得：v0＝v2－2ax＝30m/s。(2)航空母舰不装弹射系统时，v2＝2aL航空母舰甲板长至少应为L＝v22a＝250m。答案：(1)30m/s(2)250m突破点三利用vt图像的“面积”求物体的位移[学透用活][典例4]某一做直线运动的物体的图像如图所示，根据图像，求：(1)物体距出发点的最远距离；(2)前4s内物体的位移；(3)前4s内物体通过的路程。[思路点拨](1)t＝1s时物体速度最大，t＝3s时物体速度方向将发生改变，此时位移最大。(2)利用vt图像求位移一般采用“面积”法计算，即计算vt图线与时间轴所围成的面积。[解析](1)由题图可知在0～3s内物体沿正方向运动，3～4s内物体沿反方向运动，故物体在3s时距出发点最远，物体距出发点最远的距离xm＝12v1t1＝12×4×3m＝6m。(2)前4s内物体的位移x＝x1－x2＝12v1t1－12v2t2＝12×4×3－12×2×1m＝5m。(3)前4s内物体通过的路程s＝x1＋x2＝12v1t1＋12v2t2＝12×4×3＋12×2×1m＝7m。[答案](1)6m(2)5m(3)7m[规律方法](1)vt图像与t轴所围的“面积”表示位移的大小。(2)“面积”在t轴以上是正值，表示位移沿正方向；在t轴以下是负值，表示位移沿负方向。(3)物体的总位移等于各部分位移(正、负“面积”)的代数和。(4)物体通过的路程为t轴上、下“面积”绝对值的和。(5)为了检验计算结果，可根据vt图像画出物体运动的草图。[对点练清]7．我国“蛟龙号”载人潜水器进行下潜试验，从水面开始竖直下潜，最后返回水面，其vt图像如图所示，则下列说法正确的是()A．0～4min和6～10min两时间段平均速度大小相等B．全过程中的最大加速度为0.025m/s2C．3～4min和6～8min加速度方向相反D．本次下潜的最大深度为