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第二章匀变速直线运动的研究第3节匀变速直线运动的位移与时间的关系学习目标1.知道匀变速直线运动的位移与v－t图象中图线与坐标轴围成面积的关系.2.了解利用极限思想解决物理问题的方法．(难点)3.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系并会用来分析、解决问题．(重点)4.会推导速度与位移的关系式，并知道匀变速直线运动的速度与位移的关系式中各物理量的含义．(难点)5.会用公式v2－v20＝2ax进行分析和计算．(重点)第二章匀变速直线运动的研究核心素养形成脉络第二章匀变速直线运动的研究一、匀变速直线运动的位移1．位移在v－t图象中的表示做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图象中的图线和_____________包围的“面积”．如图所示，物体在0～t时间内的位移大小等于________的面积．2．位移与时间关系式：x＝v0t＋12at2.时间轴梯形3．用图象表示位移(1)x－t图象：以________为横坐标，以________为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图象．(2)常见的x－t图象静止一条________________的直线匀速直线运动一条________的直线时间位移平行于时间轴倾斜二、速度与位移的关系式1．公式v2－v20＝________．2．推导速度公式：v＝________．位移公式：x＝_____________．由以上两式消去t得：v2－v20＝________．3．两种特殊形式(1)当v0＝0时，v2＝2ax.(2)当v＝0时，－v20＝2ax.2axv0＋atv0t＋12at22ax思维辨析(1)匀速直线运动物体的运动轨迹就是它的x－t图象．()(2)位移公式x＝v0t＋12at2适用于匀变速直线运动．()(3)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大．()(4)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关．()(5)同一直线上运动的两物体，速度相等时，两物体相距最远或最近．()(6)两物体同向运动恰好不相碰，则此时两物体速度相等．()提示：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)×(6)√基础理解(1)(2019·北京四中高一检测)在交警处理某次交通事故时，通过监控仪器扫描，输入计算机后得到该汽车在水平面上刹车过程中的位移随时间变化的规律为x＝20t－2t2(x的单位是m，t的单位是s)．则该汽车在路面上留下的刹车痕迹长度为()A．25mB．50mC．100mD．200m提示：选B.根据x＝20t－2t2可知，该汽车初速度v0＝20m/s，加速度a＝－4m/s2.刹车时间t＝Δva＝0－20－4s＝5s．刹车后做匀减速运动的位移为刹车痕迹长度，根据x＝v0t＋12at2得x＝20×5m－12×4×52m＝50m．B正确．(2)(2019·大庆一中高一检测)如图所示，木块A、B并排且固定在水平桌面上，A的长度是L，B的长度是2L.一颗子弹沿水平方向以速度v1射入A，以速度v2穿出B.子弹可视为质点，其运动视为匀变速直线运动．则子弹穿出A时的速度为()A．2v1＋v23B．2v21－v223C．2v21＋v223D．23v1提示：选C.设子弹的加速度为a，则：v22－v21＝2a·3L①v2A－v21＝2a·L②由①②两式得子弹穿出A时的速度vA＝2v21＋v223，C正确．(3)物体做变加速直线运动时，其v－t图象是一条曲线，此时物体的位移是否还对应v－t图象中图线与时间轴所包围的面积？提示：是．推导匀变速直线运动位移时所用的无限分割的思想，同样适用于变加速直线运动，用同样的方法可证明：变加速直线运动中物体的位移也对应v－t图象中图线与时间轴所包围的面积．对公式x＝v0t＋12at2的理解和应用问题导引如图所示，汽车由静止以加速度a1启动，行驶一段时间t1后，又以加速度a2刹车，经时间t2后停下来．请思考：(1)汽车加速过程及刹车过程中，加速度的方向相同吗？(2)根据位移公式求加速过程及减速过程中的位移，速度及加速度的正、负号如何确定？要点提示(1)汽车加速时加速度的方向与运动方向相同，减速时加速度方向与运动方向相反，因此两过程中加速度方向不同．(2)根据位移公式求位移时，一般取初速度方向为正方向，加速时，加速度取正值，减速时，加速度取负值．【核心深化】1．对位移公式x＝v0t＋12at2的理解公式意义位移随时间变化的规律各量意义x、v0、a分别为t时间内的位移、初速度、加速度公式特点含有4个量，若知其中三个，能求另外一个矢量性x、v0、a均为矢量，应用公式时，一般选v0的方向为正方向，若匀加速，a＞0；若匀减速，a＜0适用条件匀变速直线运动2.通常有以下几种情况运动情况取值若物体做匀加速直线运动a与v0同向，a取正值(v0方向为正方向)若物体做匀减速直线运动a与v0反向，a取负值(v0方向为正方向)若位移的计算结果为正值说明位移的方向与规定的正方向相同运动情况取值若位移的计算结果为负值说明位移的方向与规定的正方向相反特殊情况(1)当v0＝0时，x＝12at2，表明由静止开始的匀加速直线运动的位移大小与其运动时间的平方成正比(2)当a＝0时，x＝v0t，为匀速直线运动的位移公式3.应用步骤(1)确定一个方向为正方向(一般以初速度的方向为正方向)．(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示．(3)根据位移－时间关系式或其变形式列式、求解．(4)根据计算结果说明所求量的大小、方向．关键能力1位移公式的基本应用(2019·西昌市期末)“十一黄金周”我国实施高速公路免费通行，全国许多高速公路车流量明显增加，京沪、京港澳、广深等一些干线高速公路的热点路段出现了拥堵．一小汽车以v＝24m/s的速度行驶，由于前方堵车，刹车后做匀减速运动，在2s末速度减为零，求这个过程中的位移大小和加速度的大小？[思路点拨]根据匀变速直线运动的速度时间公式v＝v0＋at求出汽车的加速度，根据x＝v0t＋12at2求解位移大小．[解析]由匀变速直线运动的速度时间公式vt＝v0＋at可得：a＝vt－v0t＝0－242m/s2＝－12m/s2，位移大小x＝v0t＋12at2＝24×2m－12×12×22m＝24m.[答案]24m12m/s2关键能力2巧用逆向思维法解决匀减速运动(2019·郑州高一检测)一滑块以某一速度从斜面底端滑到顶端时，其速度恰好减为零．已知运动中滑块加速度恒定．若设斜面全长为L，滑块通过最初12L所需的时间为t，则滑块从斜面底端滑到顶端所用时间为()A．2tB．(2＋2)tC．3tD．2t[解析]利用“逆向思维法”把滑块的运动看成逆向的初速度为0的匀加速直线运动．设后L2所需时间为t′，则L2＝12at′2，全过程L＝12a(t＋t′)2解得t′＝(2＋1)t所以t总＝t′＋t＝(2＋2)t，故B正确．[答案]B逆向思维法就是沿着物理过程发生的相反方向，根据原因探索结果的思维方式，即把运动过程的末态当成初态、初态当成末态进行反向研究的方法，该法一般用于末态已知的情况或末态很容易确定的情况，如匀减速直线运动可看成加速度等大反向的匀加速直线运动．【达标练习】1．(2019·绵阳期末)在“车让人”交通安全活动中，交警部门要求汽车在斑马线前停车让人．以8m/s匀速行驶的汽车，当车头离斑马线8m时司机看到斑马线上有行人通过，已知该车刹车时最大加速度为5m/s2，驾驶员反应时间为0.2s．若驾驶员看到斑马线上有行人时立即紧急刹车，则()A．汽车能保证车让人B．汽车通过的距离是6.4mC．汽车运动的时间是1.6sD．在驾驶员反应时间内汽车通过的距离是1m解析：选A.汽车在驾驶员反应时间内做匀速直线运动，则反应时间内汽车行驶的距离为x＝v0t＝8×0.2m＝1.6m，故D错误；刹车后做匀减速运动，根据速度公式：v＝v0＋at，当汽车速度为零时，t＝1.6s；汽车运动总时间为1.8s；匀减速的位移：v20＝2as，s＝6.4m，汽车通过的总位移：x总＝x＋s＝8m，到达斑马线时刚好停下，行人可以安全通过，即汽车能保证车让人，故A正确，B、C错误．2.如图所示，骑自行车的人以5m/s的初速度匀减速上一个斜坡，加速度的大小为0.4m/s2，斜坡长30m，骑自行车的人通过斜坡需要多长时间？解析：由位移公式x＝v0t＋12at2代入数据得：30＝5t－12×0.4t2解得：t1＝10s，t2＝15s.将t1＝10s和t2＝15s分别代入速度公式v＝v0＋at计算两个对应的末速度，v1＝1m/s和v2＝－1m/s.后一个速度v2＝－1m/s与上坡的速度方向相反，与实际情况不符，所以应该舍去．实际上，15s是自行车按0.4m/s2的加速度匀减速运动速度减到零又反向加速到1m/s所用的时间，而这15s内的位移恰好也是30m.在本题中，由于斜坡不是足够长，用10s的时间就到达坡顶，自行车不可能倒着下坡，从此以后自行车不再遵循前面的运动规律，所以15s是不合题意的．答案：10s对公式v2－v20＝2ax的理解和应用问题导引如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a，起飞速度为v，你应该如何来设计飞机跑道的长度？要点提示由公式v2－v20＝2ax即可算出跑道的长度．【核心深化】对公式v2－v20＝2ax的理解公式意义位移随时间变化的规律矢量性其中的x、v、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向适用范围匀变速直线运动特点该式不涉及时间，研究的问题中若不涉及时间，利用该式求解更加方便符号规定(1)若物体做匀加速直线运动，a取正值；若物体做匀减速直线运动，a取负值.(2)若位移与正方向相同取正值；若位移与正方向相反，a取负值随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显．分析交通违规事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命．一货车严重超载后的总质量为49t，以54km/h的速率匀速行驶．发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5m/s2(不超载时则为5m/s2)．(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？(2)若超载货车刹车时正前方25m处停着总质量为1t的轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度大小．[思路点拨]本题不涉及时间t，可选用速度－位移关系式v2－v20＝2ax进行求解．[解析](1)设货车刹车时的速度大小为v0，加速度大小为a，末速度大小为v，刹车距离为x，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得x＝v20－v22a代入数据，得超载时x1＝45m不超载时x2＝22.5m.(2)超载货车与轿车碰撞时，由v20－v2＝2ax知相撞时货车的速度v＝v20－2ax＝152－2×2.5×25m/s＝10m/s.[答案](1)45m22.5m(2)10m/s(2019·山东潍坊高一期中)汽车在路上出现故障时，应在车后放置三角警示牌(如图所示)，以提醒后面驾车司机，减速安全通过．在夜间，有一货车因故障停驶，后面有一小轿车以30m/s的速度向前驶来，由于夜间视线不好，小轿车驾驶员只能看清前方50m的物体，并且他的反应时间为0.6s，制动后最大加速度为5m/s2.求：(1)小轿车从刹车到停止所用的最短时间；(2)三角警示牌至少要放在车后多远处，才能有效避免两车相撞．解析：(1)从刹车到停止时间为t2，则t2＝0－v0a＝6s．①(2)反应时间内做匀速运动，则x1＝v0t1②x1＝18m③从刹车到停止的位移为x2，则x2＝0－v202a④x2＝90m⑤小轿车从发现物体到停止的全部距离为x＝x1＋x2＝108m⑥Δx＝x－50m＝58m．⑦答案：(1)6s(2)58m对x－t与v－t图象的理解应用问题导引阅读课本，请用“无限分割”“逐渐逼近”的思想说明v－t图象与t轴所围面积表示位移．要点提示(1)把物体的运动分成几个小段，如图甲，每段位移大小≈每段起始时刻速度大小×每段的时间＝对应矩形面积．所以，整个过程的位移大小≈各个小矩形面积之和．(2)把运动过程分为更多的小段，如图乙，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个