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第1章功和机械能习题课1功和功率的计算【学习素养·明目标】1.掌握变力做功的计算方法.2.进一步加强对功率的理解和计算．合作攻重难探究变力做功的计算求变力做功的四种常用方法1．平均值法：当力F的大小发生变化，且F、s成线性关系时，F的平均值F＝F1＋F22，用F计算F做的功．2．图像法：变力做的功W可用Fs图线与s轴所围成的面积表示．s轴上方的面积表示力对物体做正功的多少，s轴下方的面积表示力对物体做负功的多少．3．分段法(或微元法)：当力的大小不变，力的方向改变(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可，力做的总功W＝Fs路或W＝－Fs路．空气阻力和滑动摩擦力做功可以写成力与路程的乘积就是这个原理．4．等效替换法：若某一变力做的功和某一恒力做的功相等，则可以用求得的恒力的功来替代变力做的功．【例1】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比．在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm.击第二次时，能击入多深？(设铁锤每次做功相等)思路探究：根据阻力与深度成正比的关系，将变力求功转化为平均力求功．达到化变力做功为恒力做功的目的．[解析]法一：铁锤每次击打都用来克服铁钉阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F＝kx，可用平均阻力来代替．如图所示，第一次击入深度为x1，平均阻力F1＝12kx1，做功为W1＝F1x1＝12kx21第二次击入深度为x1到x2，平均阻力F2＝12k(x2＋x1)，位移为x2－x1，做功为W2＝F2(x2－x1)＝12k(x22－x21)．两次做功相等，W1＝W2可解得：x2＝2x1≈1.41cmΔx＝x2－x1＝0.41cm.法二：(图像法)因为阻力F＝kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出Fx图像(如图所示)，图线与横轴所围成的面积的值等于F对铁钉做的功．由于两次做功相等，故有S1＝S2(面积)，即12kx21＝12k(x2＋x1)(x2－x1)所以Δx＝x2－x1≈0.41cm.[答案]0.41cm(1)用F＝F1＋F22求平均力，用W＝F·s求功时，力F必须与位移s成线性关系．(2)在图中，阴影部分的面积为12kx21，此值等于阻力对铁钉做功的大小．1.如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道︵AB，槽道由半径分别为R2和R的两个半圆构成．现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力F所做的功为()A．0B．FRC．32πFRD．2πFRC[在拉动的过程中，力F的方向总是与速度同向，用微元法的思想，在很小的一段位移内力F可以看成恒力，小球路程为πR＋π×R2，由此得W＝32πFR，C正确．]2.如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于自然状态，用水平力缓慢拉木块，使木块前进l，求这一过程中拉力对木块做了多少功．[解析]缓慢拉动木块，可认为木块处于平衡状态，故拉力大小等于弹力大小，即F＝kl.因该力与位移成正比，故可用平均力F＝kl2求功，W＝F·l＝12kl2.[答案]12kl2功率的理解和计算公式P＝Wt与P＝Fυ的理解与应用定义式P＝Wt计算式P＝Fv(1)P＝Wt是功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，既适用于合力或某个力做功时功率的计算，也适用于恒力或变力做功时功率的计算(1)P＝Fv是由W＝Fs及P＝Wt联立导出的，体现了P、F、v三个量的制约关系定义式P＝Wt计算式P＝Fv(2)P＝Wt表示时间t内的平均功率，只有当物体做匀速运动时，才等于瞬时功率(2)P＝Fv通常用来计算某一时刻或某一位置的瞬时功率，此时v是瞬时速度；若v是某段时间内的平均速度，则计算的是该段时间内的平均功率(3)该式成立的条件是F、v同向，若不同向，应用P＝Fvcosα进行计算，其中α是F与v之间的夹角【例2】质量为m的物体从静止开始做加速度为a的匀加速直线运动．在运动时间为t的过程中，合外力对它做功的平均功率为()A．ma2tB．12ma2tC．2ma2tD．22ma2tB[W＝F·s＝ma·12at2＝12ma2t2，P＝Wt＝12ma2t，故选项B正确．]3．质量为2kg的物体做自由落体运动，经过2s落地．取g＝10m/s2.关于重力做功的功率，下列说法正确的是()A．下落过程中重力的平均功率是400WB．下落过程中重力的平均功率是100WC．落地前的瞬间重力的瞬时功率是400WD．落地前的瞬间重力的瞬时功率是200WC[物体2s内下落的高度为h＝12gt2＝20m，落地时的速度为v＝gt＝20m/s，所以下落过程中重力的平均功率是P＝mgv－＝200W，落到地面前的瞬间重力的瞬时功率是P＝mgv＝400W，选项C正确．]4．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(g取10m/s2)()A．物体加速度大小为2m/s2B．4s末F的功率大小为42WC．F的大小为21ND．4s内F做功的平均功率为42WB[由速度—时间图像可得加速度a＝0.5m/s2，由牛顿第二定律2F－mg＝ma得F＝mg＋ma2＝10.5N,4s末F的功率为P＝F·2v＝10.5×2×2W＝42W,4s内F做功的平均功率为P＝Wt＝Flt＝10.5×2×44W＝21W，故只有B正确．]当堂固双基达标1．汽车上坡的时候，司机一般需要换挡，其目的是()A．减小速度，得到较小的牵引力B．增大速度，得到较小的牵引力C．减小速度，得到较大的牵引力D．增大速度，得到较大的牵引力C[汽车上坡时，汽车的牵引力除了需要克服阻力以外，还要克服重力沿斜坡向下的分力，所以需要增大牵引力，由F＝Pv知，在P一定时，要增大牵引力，必须减小速度，故C正确．]2．如图所示，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F，与磨杆始终垂直，作用点到轴心的距离为r，磨盘绕轴缓慢转动．则在转动一周的过程中，推力F做的功为()A．0B．2πrFC．2FrD．－2πrFB[磨盘转动一周，力的作用点的位移为0，但不能直接套用W＝Fscosα求解，因为在转动过程中推力F为变力．我们可以用微元的方法来分析这一过程．由于F的方向在每时刻都保持与作用点的速度方向一致，因此可把圆周划分成很多小段来研究，如图所示，当各小段的弧长Δsi足够小(Δsi→0)时，F的方向与该小段的位移方向一致，所以有：WF＝F·Δs1＋F·Δs2＋F·Δs3＋…＋F·Δsi＝F·2πr＝2πrF(这等效于把曲线拉直)．]3．某车以相同功率在两种不同的水平路面上行驶，受到的阻力分别为车重的k1和k2倍，最大速率分别为v1和v2，则()A．v2＝k1v1B．v2＝k1k2v1C．v2＝k2k1v1D．v2＝k2v1B[以相同功率在两种不同的水平路面上行驶达最大速度时，有F＝Ff＝kmg；由P＝Fv可知最大速度vm＝PF＝PFf，则v1v2＝Ff2Ff1＝k2k1，故v2＝k1k2v1，选项B正确．]4．质量为M的木板放在光滑水平面上，如图所示，一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点，在木板上前进了l，同时木板前进了x，若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，摩擦力对滑块、对木板所做的功各为多少？滑动摩擦力对滑块、木板做的总功为多少？[解析]由题图可知，木板的位移为lM＝x时，滑块的位移为lm＝l＋x，m与M之间的滑动摩擦力Ff＝μmg.由公式W＝Flcosα可得，摩擦力对滑块所做的功为Wm＝μmglmcos180°＝－μmg(l＋x)，负号表示做负功．摩擦力对木板所做的功为WM＝μmglM＝μmgx滑动摩擦力做的总功为W＝Wm＋WM＝－μmg(l＋x)＋μmgx＝－μmgl.[答案]－μmg(l＋x)μmgx－μmgl