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习题课提升关键能力平面向量初步高频考点一平面向量基本定理的应用[例1]如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.[解]设BM―→＝e1，CN―→＝e2，则AM―→＝AC―→＋CM―→＝－3e2－e1，BN―→＝BC―→＋CN―→＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP―→＝λAM―→＝－λe1－3λe2，BP―→＝μBN―→＝2μe1＋μe2.故BA―→＝BP―→＋PA―→＝BP―→－AP―→＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而BA―→＝BC―→＋CA―→＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得λ＝45，μ＝35.∴AP―→＝45AM―→，BP―→＝35BN―→，∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.[方法技巧]若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．[集训冲关]1．[变结论]在本例条件下，若CM―→＝a，CN―→＝b，试用a，b表示CP―→.解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则NP―→＝25NB―→，CP―→＝CN―→＋NP―→＝CN―→＋25NB―→＝b＋25(CB―→－CN―→)＝b＋45a－25b＝35b＋45a.2．[变条件]若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求AP∶PM与BP∶PN.解：如图，设BM―→＝e1，CN―→＝e2，则AM―→＝AC―→＋CM―→＝－2e2－e1，BN―→＝BC―→＋CN―→＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP―→＝λAM―→＝－λe1－2λe2，BP―→＝μBN―→＝2μe1＋μe2.故BA―→＝BP―→＋PA―→＝BP―→－AP―→＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.而BA―→＝BC―→＋CA―→＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，得λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2，解得λ＝23，μ＝23.∴AP―→＝23AM―→，BP―→＝23BN―→，∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.高频考点二向量共线基本定理的应用[例2]如图，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝12AB，点N在BC上，且BN＝13BC，求证：M，N，D三点共线．[证明]设AB―→＝e1，AD―→＝e2，则BC―→＝AD―→＝e2，∵BN―→＝13BC―→＝13e2，BM―→＝12AB―→＝12e1，∴MN―→＝BN―→－BM―→＝13e2－12e1，又∵MD―→＝AD―→－AM―→＝e2－32e1＝313e2－12e1＝3MN―→，∴向量MN―→与MD―→共线，又∵M是公共点，∴M，N，D三点共线．[方法技巧]应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤[集训冲关]1．已知a，b是不共线的两个非零向量，当8a＋kb与ka＋2b共线时，求实数k的值．解：∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.∵a与b不共线，∴8－λk＝0，k－2λ＝0，解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.2．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0，2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．证明：由已知得，AB―→＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，CD―→＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB―→与CD―→共线．AD―→＝(－1,2)，BC―→＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴AD―→与BC―→不共线．∴四边形ABCD是梯形．∵BC―→＝(－2,1)，AD―→＝(－1,2)，∴|BC―→|＝5＝|AD―→|，即BC＝AD.故四边形ABCD是等腰梯形．