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集合与常用逻辑用语第一章复习课(一)三角恒等变换考点一集合的基本概念正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性．在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参数集合问题时应格外注意．【典例1】(1)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m为()A．2B．3C．0或3D．0,2,3均可(2)定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝(0,2)，则集合A*B的所有元素之和为________．[解析](1)由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．综上所述，m＝3.(2)由A*B的含义可知，A*B＝{0,2,4}，故其所有元素之和为6.[答案](1)B(2)6解决集合的概念问题应关注2点(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．[针对训练]1．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9[解析]①当x＝0时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；②当x＝1时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为1,0，－1；③当x＝2时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为2,1,0.综上可知，x－y的可能取值为－2，－1,0,1,2，共5个，故选C.[答案]C2．若－3∈{x－2,2x2＋5x,12}，则x＝________.[解析]由题意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.①当x－2＝－3时，x＝－1，把x＝－1代入，得集合的三个元素为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性；②当2x2＋5x＝－3时，x＝－32或x＝－1(舍去)，当x＝－32时，集合的三个元素为－72，－3,12，满足集合中元素的互异性．由①②知x＝－32.[答案]－32考点二集合间的基本关系集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A⊆B时，不要遗漏A＝∅.【典例2】(1)若集合M＝xx＝m＋16，m∈Z，N＝xx＝n2－13，n∈Z，P＝x＝p2＋16，p∈Z，则M，N，P的关系是()A．M＝NPB．MN＝PC．MNPD．NPM(2)已知集合A＝{x|1ax2}，B＝{x|－1x1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．[解析](1)M＝xx＝6m＋16，m∈Z.N＝xx＝3n－26，n∈Z＝xx＝3q＋16，q∈Z，P＝xx＝3p＋16，p∈Z.∴MN＝P.(2)①当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B.②当a0时，A＝x1ax2a.又∵B＝{x|－1x1}，A⊆B，∴1a≥－1，2a≤1，∴a≥2.③当a0时，A＝x2ax1a.∵A⊆B，∴2a≥－1，1a≤1，∴a≤－2.综上所述，a的取值范围为{a|a≥2或a≤－2或a＝0}．[答案](1)B(2){a|a≥2或a≤2或a＝0}．(1)判断两集合关系的2种常用方法一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．(2)处理集合间关系问题的关键点已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．同时还要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏．[针对训练]3．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则下列关系正确的是()A．M＝NB．MNC．N⊆MD．NM[解析]由集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，N＝{0,1,2}，可知MN.[答案]B4．已知集合A＝{x|x－1或x≥1}，B＝{x|2ax≤a＋1，a1}，B⊆A，则实数a的取值范围为________．[解析]∵a1，∴2aa＋1，∴B≠∅.画数轴如图所示．由B⊆A知，a＋1－1或2a≥1.即a－2或a≥12.由已知a1，∴a－2或12≤a1，即所求a的取值范围是a－2或12≤a≤1.[答案]aa－2或12≤a1考点三集合的基本运算并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．活用集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A∩B＝A转化为A⊆B，A∪B＝A转化为B⊆A.【典例3】(1)已知集合A＝{x|x＋10}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁RA)∩B等于()A．{－2，－1}B．{－2}C．{－1,0,1}D．{0,1}(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，求m的值．[解析](1)因为集合A＝{x|x－1}，所以∁RA＝{x|x≤－1}，则(∁RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．(2)A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1或m＝2符合条件．∴m＝1或m＝2.[答案](1)A(2)m＝1或m＝2集合基本运算的答题策略(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．[针对训练]5．设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x24，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|x2，x∈N}B．{x|x≤2，x∈N}C．{0,2}D．{1,2}[解析]由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(∁UA)，∁UA＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩(∁UA)＝{0,2}，选C.[答案]C6．设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，求使A⊆A∩B成立的a的取值集合．[解]由A⊆A∩B，得A⊆B，则①当A＝∅时，2a＋13a－5，解得a6.②当A≠∅时，2a＋1≤3a－5，2a＋1≥3，3a－5≤22，解得6≤a≤9.综合①②可知，使A⊆A∩B成立的a的取值集合为{a|a≤9}．考点四简易逻辑用语充分必要条件的判断常用“定义”法和“集合”法判断．若用“定义”法，一般将命题改写为“若p，则q”的形式，若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若利用集合的关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件，AB即A是B的充分不必要条件，A＝B则A是B的充要条件．全称量词命题为真，存在量词命题为假的判断都需要推理证明，反之则只需举出反例即可，含有量词的否定，遵循“改量词，否结论”的原则．【典例4】(1)已知p：1x＋20，q：x＋2有意义，则p的否定是q的()条件()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(2)不等式(x－3)2x2(x－3)2成立的一个充分不必要条件是()A．x2B．x2且x≠3C．x1D．x5[解析](1)命题p为x＋20，其否定为x＋2≥0，即x≥－2.而x＋2有意义需x＋2≥0，故p的否定是q的充要条件．(2)(x－3)2x2(x－3)2⇔x2且x≠3，所以(x－3)2x2(x－3)2成立的充分不必要条件应是集合{x|x2且x≠3}的真子集，故选D.[答案](1)C(2)D(1)写出一个命题的否定要先将命题化为最简形式．(2)利用“集合法”判断两个命题的关系，要合理转化为集合间的包含关系，同时还要注意集合中端点值的检验，如针对训练8题．[针对训练]7．A∩B＝B是BA的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[解析]A∩B＝B⇔B⊆A，因为B⊆A⇒/BA，所以B⊆A不是BA的充分条件，但BA⇒B⊆A，∴B⊆A是BA的必要条件，故A∩B＝B是BA的必要不充分条件．故选B.[答案]B8．已知p：－2≤x≤10，q：2m≤x≤1＋m，(1)p的否定为______________________．(2)若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围是________．[解析](1)p的否定为：x－2或x10.(2)由题意：p⇒/q，q⇒p，故{x|2m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}．①当1＋m2m，即m1时，{x|2m≤x≤1＋m}＝∅，满足题意．②当m≤1时，有1＋m≤102m≥－2∴－1≤m≤1，综上得m的取值范围是m≥－1.[答案](1)x10或x－2(2)m≥－1