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集合与常用逻辑用语第一章1．5全称量词与存在量词1．5.1全称量词与存在量词课前自主预习1．能够记住全称量词和存在量词的概念．2．学会用符号语言表达全称量词命题和存在量词命题，并判断真假．3．理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系，能正确对含有一个量词的命题进行否定．1．全称量词与全称量词命题2.存在量词与存在量词命题1．x2是命题吗？对任意的x∈R，x2是命题吗？[答案]x2不是命题，不能判断真假，而对任意的x∈R，x2则是命题2．全称量词命题和存在量词命题中是否一定含有全称量词和特称量词？[答案]命题“正方形是特殊的菱形”，该命题中没有全称量词，即全称量词命题不一定含有全称量词3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．()(2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题．()(3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．()(4)内错角相等是全称量词命题．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√课堂互动探究题型一全称量词命题与存在量词命题【典例1】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．(1)凸多边形的内角和等于360°；(2)有的力的方向不定；(3)矩形的对角线不相等；(4)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点．[思路导引]找命题中的量词及其命题的含义．[解](1)可以改为所有的凸多边形的内角和等于360°，故为全称量词命题．(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．(3)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．(4)含有量词“存在”，是存在量词命题．判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．[针对训练]1．用全称量词或存在量词表示下列语句(1)不等式x2＋x＋10恒成立；(2)当x为有理数时，13x2＋12x＋1也是有理数；(3)方程3x－2y＝10有整数解；(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解](1)对任意实数x，不等式x2＋x＋10成立．(2)对任意有理数x，13x2＋12x＋1是有理数．(3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．(4)若一个四边形是菱形，则所有这样菱形的对角线互相垂直.题型二判断全称量词命题的真【典例2】判断下列全称量词命题的真假．(1)任意实数的平方均为正数．(2)函数y＝kx＋b为一次函数．(3)同弧所对的圆周角相等．(4)∀x∈R，x2＋3≥3.[解](1)假命题．若这个实数为0，则其平方为0，不是正数．所以“任意实数的平方均为正数”为假命题．(2)假命题．当k＝0时，y＝kx＋b不是一次函数，为常函数．所以“函数y＝kx＋b为一次函数”是假命题．(3)真命题．根据圆周角的性质可知其为真命题．(4)真命题．∀x∈R，x2≥0，故有x2＋3≥3成立．判断全称量词命题真假的方法要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．[针对训练]2．判断下列全称量词命题的真假．(1)对每一个无理数x，x2也是无理数．(2)末位是零的整数，可以被5整除．(3)∀x∈R，有|x＋1|1.[解](1)因为2是无理数，但(2)2＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．(2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题．(3)当x＝0时，不满足|x＋1|1，所以“∀x∈R，有|x＋1|1”为假命题．题型三存在量词命题真假的判断【典例3】判断下列存在量词命题的真假．(1)有的集合中不含有任何元素．(2)存在对角线不互相垂直的菱形．(3)∃x∈R，满足3x2＋20.(4)有些整数只有两个正因数．[解](1)由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．(2)由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．(3)∀x∈R，有3x2＋20，因此存在量词命题“∃x∈R,3x2＋20”是假命题．(4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题．判断存在量词命题真假的方法判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题．[针对训练]3．判断下列存在量词命题的真假．(1)有些二次方程只有一个实根．(2)某些平行四边形是菱形．(3)存在实数x1、x2，当x1x2时，有x21x22.[解](1)由于存在二次方程x2－4x＋4＝0只有一个实根，所以存在量词命题“有些二次方程只有一个实根”是真命题．(2)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题．(3)当x1＝－2，x2＝1时有x21x22，故“存在实数x1、x2，当x1x2时，有x21x22”为真命题.题型四含有量词的命题的应用【典例4】已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．[解]∵“∀1≤x≤2，x2－m≥0”成立，∴x2－m≥0对1≤x≤2恒成立．又y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，∴y＝x2－m的最小值为1－m.∴1－m≥0.解得m≤1.∴实数m的取值范围是{m|m≤1}．[变式]若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围．[解]∵“∃1≤x≤2，x2－m≥0”成立，∴x2－m≥0在1≤x≤2有解．又函数y＝x2在1≤x≤2上单调递增，∴函数y＝x2在1≤x≤2上的最大值为22＝4.∴4－m≥0，即m≤4.∴实数m的取值范围是{m|m≤4}．求参数范围的2类题型(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．[针对训练]4．是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋50对于任意x∈R恒成立，并说明理由．[解]不等式m＋x2－2x＋50可化为m－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m－4即可．故存在实数m使不等式m＋x2－2x＋50对于任意x∈R恒成立，此时需m－4.5．若存在一个实数x，使不等式m－x2－2x＋50成立，求实数m的取值范围．[解]不等式m－(x2－2x＋5)0可化为mx2－2x＋5.令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式mx2－2x＋5成立，只需mtmin.又t＝(x－1)2＋4，∴tmin＝4，∴m4.所以所求实数m的取值范围是{m|m4}．课堂归纳小结1．判断全称量词命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．2．判定全称量词命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x，使p(x)为假，则全称量词命题为假．3．判定存在量词命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假.