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集合与常用逻辑用语第一章1．3集合的基本运算第2课时补集及集合运算的综合应用课前自主预习1．理解全集、补集的概念．2．准确翻译和使用补集符号和Venn图．3．会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作.所有元素U2．补集温馨提示：∁UA的三层含义：(1)∁UA表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．1．A＝{高一(1)班参加足球队的同学}，B＝{高一(1)班没有参加足球队的同学}，U＝{高一(1)班的同学}．(1)集合A，B，U有何关系？(2)B中元素与U和A有何关系？[答案](1)U＝A∪B(2)B中的元素在U中，不在A中2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)全集是由任何元素组成的集合．()(2)不同的集合在同一个全集中的补集也不同．()(3)集合∁BC与∁AC相等．()(4)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√课堂互动探究题型一补集的运算【典例1】(1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x5}，则∁UA＝________________；(2)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________________.[思路导引]借助补集定义，结合数轴及Venn图求解．[解析](1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x－3或x＝5}．(2)解法一：A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．[答案](1){x|x－3或x＝5}(2){2,3,5,7}求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．[针对训练]1．设全集U＝R，集合A＝{x|2x≤5}，则∁UA＝___________.[解析]用数轴表示集合A为图中阴影部分，∴∁UA＝{x|x≤2或x5}．[答案]{x|x≤2或x5}2．设U＝{x|－5≤x－2或2x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁UA＝_______________，∁UB＝________________.[解析]解法一：在集合U中，∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．解法二：可用Venn图表示．则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．[答案]{－5，－4,3,4}{－5，－4,5}题型二交集、并集、补集的综合运算【典例2】已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2x3}，B＝{x|－3x≤3}．求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B.[解]把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2x3}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁UA)∩B＝{x|－3x≤－2或x＝3}．解决集合交、并、补运算的2个技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．[针对训练]3．设集合S＝{x|x－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于()A．{x|－2x≤1}B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1}D．{x|x≥1}[解析]∵S＝{x|x－2}，∴∁RS＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，∴(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．[答案]C4．设全集为R，A＝{x|3≤x7}，B＝{x|2x10}，则∁R(A∪B)＝________________，(∁RA)∩B＝________________.[解析]由题意知，A∪B＝{x|2x10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．又∁RA＝{x|x3或x≥7}．∴(∁RA)∩B＝{x|2x3或7≤x10}．[答案]{x|x≤2或x≥10}{x|2x3或7≤x10}题型三利用集合间的关系求参数【典例3】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2x4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．[思路导引]理清集合间的关系，分类求解．[解]由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x－m}，因为B＝{x|－2x4}，(∁UA)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.[变式](1)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？(2)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？[解](1)由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x－m}，又(∁UA)∩B≠∅，所以－m－2，解得m2.(2)由已知得A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．又(∁UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.利用集合关系求参数的2个注意点(1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．[针对训练]5．已知集合A＝{x|xa}，B＝{x|1x3}．(1)若A∪(∁RB)＝R，求实数a的取值范围；(2)若A(∁RB)，求实数a的取值范围．[解](1)∵B＝{x|1x3}，∴∁RB＝{x|x≤1或x≥3}，因而要使A∪(∁RB)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.(2)∵A＝{x|xa}，∁RB＝{x|x≤1或x≥3}．要使A(∁RB)，结合数轴分析(如图)，可得a≤1.课堂归纳小结1．全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(3)∁UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．2．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.