搜索
1．3集合的基本运算知识点一并集(一)教材梳理填空文字语言一般地，由所有属于集合A属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作(读作“”)符号语言A∪B＝___________________图形语言运算性质A∪B＝，A∪A＝，A∪∅＝∅∪A＝，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)，A⊆B⇔A∪B＝BA∪BA并B{x|x∈A，或x∈B}B∪AAA或(二)基本知能小试1．判断正误(1)两个集合的并集中元素的个数一定多于这两个集合中元素个数之和.()(2){1,2,3,4}∪{0,2,3}＝{1,2,3,4,0,2,3}．()(3)若A∪B＝A，B≠∅，则B中的每个元素都属于集合A.()答案：(1)×(2)×(3)√2．已知A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞0}，则A∪B等于()A．{x|x＞1}B．{x|x＞0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＜0}解析：A∪B＝{x|x＞1}∪{x|x＞0}＝{x|x＞0}．答案：B3．满足{1}∪B＝{1,2}的集合B的个数是________．解析：由{1}∪B＝{1,2}，故B＝{2}，{1,2}，共2个．答案：2知识点二交集(一)教材梳理填空文字语言一般地，由所有属于集合A属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作(读作“”)符号语言A∩B＝__________________图形语言运算性质A∩B＝，A∩A＝，A∩∅＝∅∩A＝，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B，A⊆B⇔A∩B＝AA∩BA交B{x|x∈A，且x∈B}B∩AA∅且(二)基本知能小试1．判断正误(1)A∩B是一个集合．()(2)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．()(3)若A∩B＝B，B≠∅，则B中的每个元素都属于A.()答案：(1)√(2)√(3)√2．若集合M＝{－1,1}，N＝{－2,1,0}，则M∩N＝()A．{0，－1}B．{0}C．{1}D．{1,1}解析：M∩N＝{－1,1}∩{－2,1,0}＝{1}．答案：C3．若集合A＝{x|－3＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝________.解析：如图所示，故A∩B＝{x|2＜x＜4}．答案：{x|2＜x＜4}题型一并集的运算[学透用活]集合并集的运算(1)运算结果：A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成；(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”．[典例1](1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0}B．{0,2}C．{－2,0}D．{－2,0,2}[解析]M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D.[答案]D(2)已知集合M＝{x|－3x≤5}，N＝{x|x－5或x5}，则M∪N＝()A．{x|x－5或x－3}B．{x|－5x5}C．{x|－3x5}D．{x|x－3或x5}[解析]在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x－5或x－3}．[答案]A[方法技巧]求集合并集的方法(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集．(2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集．(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集．[提醒]若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个．[对点练清]1．已知集合A＝{x|x2＜4}，B＝{x|－2≤x≤1}，则A∪B＝()A．{x|－2＜x＜2}B．{x|－2≤x≤1}C．{x|－2≤x＜2}D．{x|－2≤x＜1}解析：因为A＝{x|x2＜4}＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|－2≤x≤1}，在数轴上标出两集合如图，所以A∪B＝{x|－2≤x＜2}．答案：C2．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1C．2D．4解析：∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.答案：D3．满足条件{1,3}∪B＝{1,3,5}的所有集合B的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：由条件{1,3}∪B＝{1,3,5}，根据并集的定义可知5∈B，而1,3是否在集合B中不确定．所以B可能为{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，故B的个数为4.答案：D题型二交集的运算[学透用活]集合交集的运算(1)运算结果：A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成；(2)关键词“所有”：概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”；(3)∅情形：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.[典例2](1)(2019·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝()A．{－1,0,1}B．{0,1}C．{－1,1}D．{0,1,2}[解析]选A∵A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，∴A∩B＝{－1,0,1,2}∩{x|－1≤x≤1}＝{－1,0,1}．(2)集合A＝{(x，y)|x＞0}，B＝{(x，y)|y＞0}，求A∩B并说明其几何意义．[解析]A∩B＝{(x，y)|x＞0且y＞0}，其几何意义为第一象限所有点的集合．[方法技巧]求两个集合的交集的方法(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．[对点练清]1．已知集合A＝{x|x－1}，B＝{x|x2}，则A∩B＝()A．{x|x－1}B．{x|x2}C．{x|－1x2}D．∅解析：在数轴上标出集合A，B，如图所示，故A∩B＝{x|－1x2}．答案：C2．设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3}B．{1,0}C．{1,3}D．{1,5}解析：由A∩B＝{1}得1∈B，所以m＝3，B＝{1,3}．答案：C3．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5B．4C．3D．2解析：集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.答案：D题型三交集、并集中的参数问题[学透用活][典例3](1)已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值；[解]∵M∩N＝{3}，∴3∈M，∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.但当a＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；当a＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意．∴a＝4.(2)已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|2m＋1＜x＜m＋7}，若A∪B＝B，求实数m的取值范围．[解]因为A∪B＝B，所以A⊆B，所以2m＋1＜m＋7，2m＋1≤－2，m＋7≥3，解得－4≤m≤－32，故实数m的取值范围为m－4≤m≤－32.[方法技巧]求集合交集、并集中参数的思路(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系．(2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解、或解集为怎样的范围．(3)解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或范围．解题时，需注意两点：①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性．在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件；②对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性．[对点练清]1．[变条件]若将本例(2)条件“A∪B＝B”改为“A∩B＝∅”，则实数m的取值范围为________．解析：因为A∩B＝∅，所以m＋7≤－2或2m＋1≥3，所以m≤－9或m≥1.故实数m的取值范围为{m|m≤－9或m≥1}．答案：{m|m≤－9或m≥1}2．[变条件]若将本例(2)条件“A∪B＝B”改为“A∩B＝B”，求实数m的取值范围．解：因为A∩B＝B，所以B⊆A.当B＝∅时，即2m＋1≥m＋7，所以m≥6，满足A∩B＝B.当B≠∅时，由2m＋1＜m＋7，2m＋1≥－2，m＋7≤3无解．故m的取值范围是{m|m≥6}．3．设集合M＝{x|－2＜x＜5}，N＝{x|2－t＜x＜2t＋1，t∈R}，若M∪N＝M，求实数t的取值范围．解：由M∪N＝M得N⊆M.当N＝∅时，2t＋1≤2－t，即t≤13，此时M∪N＝M成立．当N≠∅时，由图可得2－t＜2t＋1，2t＋1≤5，2－t≥－2，解得13＜t≤2.综上可知，实数t的取值范围是{t|t≤2}．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝()A．{－1,0,1}B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2}D．{0,1}解析：M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．答案：B2．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}解析：在数轴上表示出集合A与B，如图所示．则由交集的定义，A∩B＝{x|0≤x≤2}．答案：A3．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝________.解析：由题意得，B＝{1,4,7,10}，所以A∩B＝{1,4}．答案：{1,4}4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．解析：并集中重复的元素只能取一个，集合A与B重复的元素是2，其他不重复，所以A∪B＝{1,2,3,4,5}，共有5个元素．答案：5二、创新应用题5．已知A＝{x|ax≤a＋8}，B＝{x|x－1，或x5}，若A∪B＝R，求a的取值范围．解：由题意A∪B＝R，在数轴上表示出A，B，如图所示，则a－1，a＋8≥5，解得－3≤a－1.综上可知，a的取值范围为{a|－3≤a＜－1}．