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1.1.1集合及其表示方法第一章集合与常用逻辑术语在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类。把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素。集合通常用英文大写字母A，B，C，...表示；集合的元素通常用英文小写字母a，b，c，...表示。如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”（1）如果A是由所有小于10的自然数组成的集合，则0∈A，0.5∉A；（2）如果B是由方程x²=1的所有解组成的集合，则-1∈B，0∉B，1∈B（3）如果C是平面上与定点O的距离等于定长r（r0）的点组成的集合，则对于以O为圆心、r为半径的圆O上的每个点P来说，都有P∈C.典型例题现在我们来考虑方程x+1=x+2的所有解组成的集合，由于该方程无解，因此这个集合不含有任何元素。一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅；由空集的定义可得，0∉∅，1∉∅思考与讨论空集是有限集吗？小结集合元素的特点：（1）确定性（2）互异性（3）无序性常见数集所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作N.所有整数组成的集合，称为整数集，记作Z所有有理数组成的集合，称为有理数集，记作Q.所有实数组成的集合，称为实数集，记作R.在自然数集N中，去掉元素0之后的集合，称为正整数集，记作N＋，或N*集合的描述方法描述法列举法前面提到的集合都是用自然语言描述的，但在数学中，我们经常要使用符号来表示集合.把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法.列举法例如，由两个元素0，1组成的集合可用列举法表示为：{0，1}；又如，24的所有正因数1，2，3，4，6，8，12，24组成的集合可用列举法表示为：{1，2，3，4，6，8，12，24}；再比如，中国古典长篇小说四大名著组成的集合可以表示为：{《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》，《西游记》｝小结：1、用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序。例如，{1，2}与{2，1}表示同一个集合。但是，如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示。例如，不大于100的自然数组成的集合，可表示为：{0，1，2，3，...，100}小结：2、无限集有时也可用列举法表示.例如，自然数集N可表示为：{0，1，2，3，...，n，...}小结：3、值得注意的是，只含一个元素的集合{a也是一个集合，要将它与它的元素a加以区别，事实上：a∈{a}.描述法一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p（x）称为集合A的一个特征性质.此时，集合A可以用它的特征性质p（x）表示为：{x|p（x）}.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法.思考例如，“一组对边平行且相等的四边形”是平行四边形的一个特征性质，因此所有平行四边形组成的集合可以表示为：{x|x是一组对边平行且相等的四边形}.思考所有能被3整除的整数组成的集合，可以用描述法表示为：{x|x=3n，n∈Z）思考所有被3除余1的自然数组成的集合可以表示为：{x|x=3n+1，n∈N}，不过这一集合通常也表示为：{x∈N|x=3n+1，n∈Z）这就是说，集合{x|p（x）}中所有在另一个集合I中的元素组成的集合，可以表示为：{x∈I|p（x）}典型例题用适当的方法表示下列集合：（1）方程x（x一1）=0的所有解组成的集合A；（2）平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B.【思考与讨论】判断A与B是有限集还是无限集，由此思考该选用哪种表示方法.解:(1)因为0和1是方程x（x-1）=0的解，而且这个方程只有两个解，所以A={0，1）.(2)因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此B={（x，y）|x0，y0}.习惯上，如果ab，则集合{x|a≤x≤b）可简写为[a，b]，并称为闭区间。例如，集合{x|1≤x≤2）可简写为闭区间[1，2].类似地，如果ab：集合{x|axb）可简写为（a，b），并称为开区间；集合{x|a≤xb）可简写为[a，b），集合{x|ax≤b}可简写为（a，b]，并都称为半开半闭区间.上述区间中，a，b分别称为区间的左、右端点，b-a称为区间的长度.区间及其表示区间可以用数轴形象地表示.例如，区间[-2，1）可用下图表示，注意图中一2处的点是实心点，而1处的点是空心点。如果用“+∞”表示“正无穷大”，用“－∞”表示“负无穷大”，则：实数集R可表示为区间（－∞，+∞）集合{x|x≥a）可表示为区间[a，+oo）集合{x|xa}可表示为区间（a，+oo）集合{红|x≤a}可表示为区间（－∞，a]集合{红|xa}可表示为区间（－∞，a）类似地，上述区间也可用数轴来形象地表示.例如，区间[7，+oo）可以用下图表示典型例题下列的集合中，哪些是有限集？哪些是无限集？（1）使得式子√x一2有意义的所有实数组成的集合；（2）使得式子√3一x有意义的所有自然数组成的集合；（3）方程x²=-1的所有实数解组成的集合。【典型例题】已知集合A中含有三个元素0,1，x，且x²∈A，则实数x的值为()A．0B．1C．－1D．1或－1