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第一章集合与常用逻辑用语第2课时集合的表示第一章集合与常用逻辑用语考点学习目标核心素养列举法表示集合掌握用列举法表示有限集数学抽象描述法表示集合理解描述法格式及其适用情况，并会用描述法表示相关集合数学抽象集合表示法的简单应用学会在集合不同的表示法中作出选择和转换数学抽象问题导学预习教材P3－P5，并思考以下问题：1．集合有哪两种表示方法？它们如何定义？2．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？3．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？1．列举法把集合的所有元素____________出来，并用花括号“______”括起来表示集合的方法叫做列举法．一一列举{}■名师点拨(1)应用列举法表示集合时应关注以下四点：①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不能重复；④集合中的元素可以是任何事物．(2)a与{a}是完全不同的，{a}表示一个集合，这个集合由一个元素a构成，a是集合{a}的元素．2．描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为____________，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{____________}或{____________}．{x∈A|P(x)}x∈A：P(x)x∈A；P(x)■名师点拨(1)应用描述法表示集合时应关注以下三点①写清楚集合中元素的符号，如数或点等；②说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；③不能出现未被说明的字母．(2)注意区分以下四个集合①A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A＝R；②B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y＝x2＋1≥1，因此B＝{y|y≥1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足y＝x2＋1的点(x，y)组成的集合，因此C表示函数y＝x2＋1的图象上的点组成的集合；④P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y＝x2＋1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个集合可以表示为{s，k，t，k}．()(2)集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合．()(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．()(4)集合{x|x3，且x∈N}与集合{x∈N|x3}表示同一个集合．()(5)集合{x∈N|x3＝x}可用列举法表示为{－1，0，1}．()××√√×方程x2－1＝0的解集用列举法表示为()A．{x2－1＝0}B．{x∈R|x2－1＝0}C．{－1，1}D．以上都不对解析：选C.解方程x2－1＝0得x＝±1，故方程x2－1＝0的解集为{－1，1}．集合{x∈N*|x－32}的另一种表示法是()A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}解析：选B.因为x－32，x∈N*，所以x5，x∈N*，所以x＝1，2，3，4.由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．解析：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4.故用列举法表示集合为{0，1，2，3，4}，用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且－1x5.故用描述法表示集合为{x∈N|－1x5}．答案：{0，1，2，3，4}{x∈N|－1x5}用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；(3)方程组2x＋y＝8，x－y＝1的解组成的集合B；(4)15的正约数组成的集合N.用列举法表示集合【解】(1)因为－2≤x≤2，x∈Z，所以x＝－2，－1，0，1，2，所以A＝{－2，－1，0，1，2}．(2)因为2和3是方程的根，所以M＝{2，3}．(3)解方程组2x＋y＝8，x－y＝1，得x＝3，y＝2，所以B＝{(3，2)}．(4)因为15的正约数有1，3，5，15四个数字，所以N＝{1，3，5，15}．列举法表示的集合的种类(1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1，2，3，4}．(2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为{1，2，3，…，1000}．(3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“自然数集N”可以表示为{0，1，2，3，…}．[注意](1)花括号“{}”表示“所有”“整体”的含义，如实数集R可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的．(2)用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏．用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；(3)小于8的素数组成的集合C；(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.解：(1)大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}．(2)方程x2－9＝0的实数根为－3，3，所以B＝{－3，3}．(3)小于8的素数有2，3，5，7，所以C＝{2，3，5，7}．(4)由y＝x＋3，y＝－2x＋6，解得x＝1，y＝4，所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}．用描述法表示下列集合：(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；(2)不等式2x－35的解组成的集合；(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．用描述法表示集合【解】(1)函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．(2)不等式2x－35的解组成的集合可表示为{x|2x－35}，即{x|x4}．(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为{(x，y)|－1≤x≤32，－12≤y≤1，xy≥0}．(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．使用描述法表示集合应注意的问题(1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等．(2)说明该集合中元素的共同属性．(3)不能出现未被说明的字母．(4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确．试分别用描述法和列举法表示下列集合：(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于2小于7的整数．解：(1)用描述法表示为{x∈R|x(x2－2x－3)＝0}，用列举法表示为{0，－1，3}．(2)用描述法表示为{x∈Z|2x7}，用列举法表示为{3，4，5，6}．已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围．【解】①当m＝0时，原方程为－2x＋3＝0，x＝32，符合题意．②当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m≤0，得m≥13，即当m≥13时，方程mx2－2x＋3＝0无实根或有两个相等的实数根，符合题意．由①②知m＝0或m≥13.集合表示方法的简单应用1．(变条件)若将本例中的“至多只有一个”改为“恰有一个”，如何求解？解：当m＝0时，A＝32，即集合A中只有一个元素32，符合题意；当m≠0时，Δ＝4－12m＝0，即m＝13.综上可知，m＝0或m＝13.2．(变条件)若将本例中的“至多只有”改为“至少有”，如何求解？解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由例题可知，当m＝0或m＝13时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－12m0，即m13且m≠0.所以A中至少有一个元素时，m的取值范围为mm≤13.此题容易漏解m＝0，漏解的原因是默认所给的方程一定是一元二次方程．其实，当m＝0时，所给的方程是一个一元一次方程；当m≠0时，所给的方程才是一个一元二次方程，求解时要注意对m进行分类讨论.已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝()A．{1}B．{1，2}C．{2，5}D．{1，5}解析：选D.由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.计算得出，p＝－3，q＝4.则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；即(x－1)2－4(x－1)＝0；则x－1＝0或x－1＝4，计算得出，x＝1或x＝5.所以集合B＝{1，5}．1．已知集合A＝{x|－1x3，x∈Z}，则一定有()A．－1∈AB.12∈AC．0∈AD．1∉A解析：选C.因为－103，且0∈Z，所以0∈A.2．下列集合中表示同一集合的是()A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B．M＝{2，3}，N＝{3，2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}解析：选B.选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合．对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．3．将集合（x，y）x＋y＝5，2x－y＝1用列举法表示，正确的是()A．{2，3}B．{(2，3)}C．{x＝2，y＝3}D．(2，3)解析：选B.解方程组x＋y＝5，2x－y＝1得x＝2，y＝3，所以集合（x，y）x＋y＝5，2x－y＝1＝{(2，3)}．4．设A＝{4，a}，B＝{2，ab}，若A与B的元素相同，则a＋b＝______．解析：因为A与B的元素相同，所以a＝2，ab＝4，即a＝2，b＝2.故a＋b＝4.答案：4本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放