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第一章集合与常用逻辑用语1．1集合的概念知识点一元素与集合的相关概念(一)教材梳理填空(1)元素：一般地，把统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些组成的总体叫做集合，简称为，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：构成两个集合的元素是的．(4)集合中元素的特性：、互异性和无序性．研究对象元素一样确定性集(二)基本知能小试1．判断正误(1)接近于0的数可以组成集合．()(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．()(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．()答案：(1)×(2)√(3)×2．下列所给对象不能构成集合的是()A．一个平面内的所有点B．所有小于零的实数C．某校高一(1)班的高个子学生D．某一天到某商场买过货物的顾客解析：由集合的含义知C中高个子标准不明确，故选C.答案：C3．用“book中的字母”构成的集合中元素个数为()A．1B．2C．3D．4解析：由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”、“o”、“k”三个元素．答案：C知识点二元素与集合的关系及常用数集(一)教材梳理填空(1)如果a是集合A的元素，就说a集合A，记作aA；如果a不是集合A中的元素，就说a集合A，记作aA.(2)数学中一些常用的数集及其记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号____________________属于∈不属于∉NN*或N＋ZQR(二)基本知能小试1．已知集合A由x＜1的数构成，则有()A．3∈AB．1∈AC．0∈AD．－1∉A解析：很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．故选C.答案：C2．用“∈”或“∉”填空：12______N；－3______Z；2______Q；5______R.答案：∉∈∉∈3．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________.解析：由题意可知a＋1＝4，即a＝3.答案：3题型一集合与元素的含义[学透用活]集合的三个特性描述性组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等广泛性集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体整体性“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明[典例1]下列对象能组成集合的是()A．2的所有近似值B．某个班级中学习好的所有同学C．2019年全国高考数学试卷中所有难题D．屠呦呦实验室的全体工作人员[解析]D中的对象都是确定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A、B、C都不能构成集合．[答案]D[方法技巧]判定一组对象能否组成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来界定这些对象．若界定对象的客观标准是明确的，则这些对象就能组成集合，否则不能组成集合．[提醒]不是所有的对象都能组成集合，只有具有明确标准可以判定是否在集合内的对象才能组成集合．[对点练清]1．现有以下说法：①高二(1)班较胖的同学构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．②④解析：在①中，高二(1)班较胖的同学不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．答案：D2．判断下列每组对象能否组成一个集合．(1)参加2018年俄罗斯世界杯足球赛的所有国家；(2)参加2018年俄罗斯世界杯足球赛的所有实力较强的球队；(3)参加2018年五四青年节联欢晚会的所有同学；(4)直角坐标系中接近原点的点．解：(1)中“所有国家”，(3)中“所有同学”，都有确定的“属性”，能组成集合．(2)中“实力较强的球队”，没有明确的标准，(4)中“接近原点”，界限不明，都不能组成集合．综上可知，(1)(3)能组成集合，(2)(4)不能组成集合．题型二元素与集合的关系[学透用活]元素与集合的关系解读唯一性符号“∈”“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合方向性a∈A与a∉A取决于a是不是集合A中的元素，只有属于和不属于两种关系[典例2](1)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②6∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.A．1B．2C．3D．4[解析]①π是实数，所以π∈R正确；②6是无理数，所以6∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B.[答案]B(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．[解析]由题意可得：3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为2,1,0.因此A中元素有2,1,0.[答案]2,1,0[方法技巧]判断元素与集合关系的两种方法直接法(1)使用前提：对于某些不便直接表示的集合(2)判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可推理法(1)使用前提：集合中的元素是直接给出的(2)判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可[对点练清]1．已知集合A中元素满足2x＋a＞0，a∈R，若1∉A,2∈A，则()A．a＞－4B．a≤－2C．－4＜a＜－2D．－4＜a≤－2解析：∵1∉A,2∈A，∴2×1＋a≤0，且2×2＋a＞0，解得－4＜a≤－2.答案：D2．用符号“∈”或“∉”填空．(1)设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p________M，q________M.(2)设集合D是满足方程y＝x2的有序数对(x，y)的集合，则－1________D，(－1,1)________D.解析：(1)矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故p∈M，q∉M.(2)因为集合D中的元素是有序数对(x，y)，而－1是数，所以－1∉D，(－1,1)∈D.答案：(1)∈∉(2)∉∈题型三集合中元素特性的简单应用[学透用活]集合中元素特性的意义及作用作用意义特性判断两个集合的关系集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合中元素的位置，集合不变无序性求集合中的参数集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的互异性判断涉及的总体是否构成集合集合中的元素是确定的，即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一确定性[典例3]已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．[解]因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3和－1，符合要求；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时，集合A含有两个元素－4，－3，符合要求．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.[方法技巧]此类问题既要讨论元素的确定性，又要利用元素的互异性检验解的正确与否．元素的确定性常被用来判断涉及的总体是否构成集合，互异性则常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中未知的元素．另外，此类问题常涉及分类讨论的数学思想．[对点练清]1．[已知元素与集合的关系求参数]已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三个元素，且2∈A，则实数m为()A．2B．3C．0或3D．0,2,3均可解析：由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A中含有3个元素0,2,3，故选B.答案：B2．[判断集合中元素的个数]由实数x，－x，|x|，x2及－3x3所组成的集合，最多含有()A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素解析：法一：因为|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x，－x，故集合中最多含有2个元素．法二：令x＝2，则以上实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含有2个元素．答案：A3．[由集合相等求参数]设集合A中有两个元素x，y，B中有两个元素0，x2，若A，B相等，则实数x的值为________，y的值为________．解析：因为集合A，B相等，所以x＝0或y＝0.①当x＝0时，x2＝0，则B中有两个元素0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，故x＝1.综上可知，x＝1，y＝0.答案：10[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．下列各组对象能构成集合的有()①接近于1的所有正整数；②小于0的实数；③(2019,1)与(1,2019)．A．1组B．2组C．3组D．0组解析：①中接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2019,1)与(1,2019)是两个不同的数对，是确定的，能构成集合．答案：B2．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形解析：由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．答案：A3．有下列说法：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号)．解析：因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④4．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________.解析：∵方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，∴a，b是方程x2－2x－3＝0的两个根，∴a＋b＝2.答案：2二、创新应用题5．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求实数x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x的值．解：(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3.解得x≠－1且x≠0，且x≠3.(2)∵－2∈A，∴x＝－2或x2－2x＝－2.由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴x＝－2.