2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 第二课时 集合

知识点一列举法(一)教材梳理填空把集合的所有元素出来，并用括起来表示集合的方法叫做列举法.一一列举花括号“{}”(二)基本知能小试1．判断正误(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．()(2)0与{0}表示的是同一个集合．()(3)方程(x－1)2·(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,2}．()答案：(1)×(2)×(3)√2．方程x2＝4的解集用列举法表示为()A．{(－2,2)}B．{－2,2}C．{－2}D．{2}解析：由x2＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2,2}．答案：B3．设集合M＝{(1,2)}，则下列关系式成立的是()A．1∈MB．2∈MC．(1,2)∈MD．(2,1)∈M解析：由集合M知其是点集，则(1,2)∈M.答案：C知识点二描述法(一)教材梳理填空一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．共同特征P(x)(二)基本知能小试1．判断正误(1)集合{x∈N|x＞5}是用描述法表示的一个集合．()(2)集合{x|4＜x＜5}是有限集．()(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．()答案：(1)√(2)×(3)√2．集合A＝{x∈Z|－2＜x＜3}的元素个数为()A．1B．2C．3D．4解析：因为A＝{x∈Z|－2＜x＜3}，所以x的取值为－1,0,1,2，共4个．答案：D3．已知集合A＝{x|x(x－2)＝0}，那么正确的是()A．0∈AB．2∉AC．－1∈AD．0∉A解析：由x(x－2)＝0得x＝0或x＝2，∴A＝{0,2}，∴0∈A.答案：A4．方程组x＋y＝3，x－y＝－1的解集可表示为________(填序号)．①x，yx＋y＝3，x－y＝－1；②x，yx＝1，y＝2；③{1,2}；④{(x，y)|x＝1，y＝2}．解析：原方程组的解为x＝1，y＝2，其解集中只含有一个元素，可表示为①②④.答案：①②④题型一列举法表示集合[学透用活]列举法表示集合的种类(1)元素个数少且有限时，如{1,2,3,4}．(2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示．如“从1到100的所有自然数”可以表示为{1,2,3,4，…，100}．(3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举．如“所有的正偶数”可以表示为{2,4,6,8，…}．[典例1]用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程x2－2x－3＝0的实数根组成的集合C；(4)方程组x＋y＝4，x－y＝2的解集D.[解](1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．(3)方程x2－2x－3＝0的实数根为－1,3，所以C＝{－1,3}．(4)方程组x＋y＝4，x－y＝2的解为x＝3，y＝1.所以方程组的解集D＝{(3,1)}．[方法技巧]列举法表示集合的步骤及注意点分清元素[提醒]二元方程组的解集，函数的图象、点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}．列元素时要做到不重复、不遗漏书写集合列举法表示集合，要分清是数集还是点集[对点练清]用列举法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于3.1小于12.8的整数的全体；(3)方程x－2＋|y＋1|＝0的解集；(4)正奇数组成的集合．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．(2){4,5,6,7,8,9,10,11,12}．(3)由方程x－2＋|y＋1|＝0可知，x－2＝0，y＋1＝0，即x＝2，y＝－1，从而方程的解集用列举法表示为{(2，－1)}．(4)正奇数组成的集合可用列举法表示为{1,3,5,7，…}．题型二描述法表示集合[学透用活]描述法表示集合的几点注意(1)用描述法表示集合，应先弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素．(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，需对新字母说明其含义或取值范围．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．[典例2]用描述法表示下列集合：(1)不等式2x－3＜1的解组成的集合A；(2)被3除余2的正整数的集合B；(3)C＝{2,4,6,8,10}；(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.[解](1)不等式2x－3＜1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3＜1，则A＝{x|2x－3＜1}，即A＝{x|x＜2}．(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z.但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2,4,6,8,10，所以x＝2n，n≤5，n∈N*.所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}．(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x＜0，y＞0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x＜0，y＞0}．[方法技巧]描述法表示集合的步骤(1)确定集合中元素的特征；(2)给出其满足的性质；(3)根据描述法的形式写出其满足的集合．[对点练清]1．已知集合M＝{y|y＝x2}，用自然语言描述M应为()A．函数y＝x2的值域B．函数y＝x2的定义域C．函数y＝x2的图象上的点组成的集合D．以上说法都不对解析：由于集合M＝{y|y＝x2}的代表元素是y，而y为函数y＝x2的函数值，则M为y＝x2的值域．故A正确．函数y＝x2的定义域是{x|y＝x2}，故B错误．函数y＝x2的图象上的点组成的集合是{(x，y)|y＝x2}，故C错误．由于A对，故D错误．故选A.答案：A2．用符号“∈”或“∉”填空：(1)A＝{x|x2－x＝0}，则1________A，－1________A；(2)(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．解析：(1)易知A＝{0,1}，故1∈A，－1∉A；(2)将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，等式成立．答案：(1)∈∉(2)∈3．用描述法表示下列集合：(1)比1大又比10小的实数的集合；(2)直线y＝2x＋3上所有点的集合；(3)正奇数集．解：(1)比1大又比10小的实数有无数个，故用描述法表示为{x∈R|1＜x＜10}．(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|y＝2x＋3}．(3)奇数可用式子x＝2n＋1，n∈Z表示，但此题要求为正奇数，故n∈N，所以正奇数集可表示为{x|x＝2n＋1，n∈N}．题型三集合表示的综合问题[学透用活][典例3](1)(2018·铜仁思南中学高一期中)已知集合M＝{－1，0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，a≠b}，则集合N中所有元素之和为()A．－1B．0C．1D．2[解]选A∵集合M＝{－1,0,1}，∴N＝{x|x＝ab，a，b∈M，a≠b}＝{－1,0}，∴集合N中所有元素之和为－1.(2)用适当的方法表示下列集合：①绝对值小于5的全体实数组成的集合；②所有正方形组成的集合；③除以3余1的所有整数组成的集合；④构成英文单词mathematics的全体字母．[解]①绝对值小于5的全体实数组成的集合可表示为{x||x|＜5}．②所有正方形组成的集合可表示为{正方形}．③除以3余1的所有整数组成的集合可表示为{a|a＝3x＋1，x∈Z}．④构成英文单词mathematics的全体字母可表示为{m，a，t，h，e，i，c，s}．[方法技巧]选用列举法或描述法表示集合的原则要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素个数较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．[对点练清]1．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是()A．2∈A，且2∈BB．(1,2)∈A，且(1,2)∈BC．2∈A，且(3,10)∈BD．(3,10)∈A，且2∈B解析：集合A中元素y是实数，不是点，故选项B、D不对．集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以A错．答案：C2．设集合B＝x∈N62＋x∈N.(1)试判断元素1和2与集合B的关系；(2)用列举法表示集合B.解：(1)当x＝1时，62＋1＝2∈N；当x＝2时，62＋2＝32∉N，∴1∈B,2∉B.(2)∵x∈N，62＋x∈N，∴x只能为0,1,4，故B＝{0,1,4}．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．方程组x＋y＝1，x2－y2＝9的解集是()A．(－5,4)B．(5，－4)C．{(－5,4)}D．{(5，－4)}解析：解方程组x＋y＝1，x2－y2＝9，得x＝5，y＝－4，故解集为{(5，－4)}．答案：D2．集合{x∈N*|x－32}的另一种表示法是()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}解析：∵x－32，x∈N*，∴x5，x∈N*，∴x＝1,2,3,4.答案：B3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,9}，若x∈A且x∉B，则x＝________.解析：∵x∈A，∴x＝1,2,3.又∵x∉B，∴x≠1,3,9，故x＝2.答案：24．集合{x|x＝2m－3，m∈N*，m＜5}，用列举法表示为________．解析：集合中的元素满足x＝2m－3，m∈N*，m＜5，则满足条件的x值：m＝1，x＝－1；m＝2，x＝1；m＝3，x＝3；m＝4，x＝5.则集合为{－1,1,3,5}．答案：{－1,1,3,5}二、创新应用题5．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．解：①若a＋3＝1，则a＝－2，此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，此时A＝{2,0,1}，满足题意．综上所述，实数a的值为－1或0.