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5．3.2事件之间的关系与运算第五章统计与概率考点学习目标核心素养事件间的相互关系了解事件间的相互关系数学抽象互斥事件、对立事件理解互斥事件、对立事件的概念数据抽象、逻辑推理第五章统计与概率问题导学预习教材P98－P101的内容，思考以下问题：1．如何理解事件A包含事件B？事件A与事件B相等？2．什么叫做并事件？什么叫做交事件？3．什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？互斥事件与对立事件的联系与区别是什么？1．事件的关系及运算定义表示法图示包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B__________，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)________(或_______)一定发生B⊇AA⊆B定义表示法图示并事件给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的_____(或_____)__________(或__________)和并A＋BA∪B定义表示法图示交事件给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的_____(或_____)_____(或__________)互斥事件给定事件A，B，若事件A，B________________，则称A与B互斥AB＝_____(或A∩B＝∅)积交不能同时发生ABA∩B∅定义表示法图示对立事件给定样本空间Ω与事件A，由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件记为A－P(A)＋P(A－)＝12.概率加法公式(1)如果事件A与事件B互斥，则有P(A＋B)＝__________．一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(2)如果事件A与事件B互为对立事件，那么A＋B为必然事件，则有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝_____．1P(A)＋P(B)■名师点拨(1)互斥事件与对立事件的区别与联系①区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：(ⅰ)若事件A发生，则事件B就不发生；(ⅱ)若事件B发生，则事件A不发生；(ⅲ)事件A，B都不发生．而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A＋B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则A＋B不一定是必然事件，亦即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个．②联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立．(2)从集合的角度理解互斥事件与对立事件①几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．②事件A的对立事件A－所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．(3)对互斥事件的概率加法公式的三点认识①前提条件：事件A与B是互斥事件，如果没有这一条件，加法公式将不成立．②特殊情况：当事件A与B是对立事件时，P(B)＝1－P(A)．③应用方法：在求某些较复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较容易求的彼此互斥的事件，或与其对立的事件，化整为零，化难为易．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)互斥事件一定对立．()(2)对立事件一定互斥．()(3)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．()(4)事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．()×√××一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：“恰有一件次品”；事件B：“至少有两件次品”；事件C：“至少有一件次品”；事件D：“至多有一件次品”．并给出以下结论：①A＋B＝C；②D＋B是必然事件；③A＋B＝B；④A＋D＝C.其中正确的序号是()A．①②B．③④C．①③D．②③解析：选A.A＋B表示的事件：至少有一件次品，即事件C，所以①正确，③不正确；D＋B表示的事件：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确；A＋D表示的事件：至多有一件次品，即事件D，所以④不正确．(2019·广西钦州市期末考试)抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则A的对立事件是()A．至多抽到2件次品B．至多抽到2件正品C．至少抽到2件正品D．至多抽到1件次品解析：选D.因为“至少抽到2件次品”就是说抽查10件产品中次品的数目至少有2个，所以A的对立事件是抽查10件产品中次品的数目最多有1个．故选D.某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03，在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为________．解析：由题意，在该产品中任抽一件，“抽到优质品”与“抽到合格品或次品”是对立事件，所以在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为P＝1－0.25－0.03＝0.72.答案：0.72某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．互斥事件与对立事件的判断【解】判断两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．(1)包含关系、相等关系的判定①事件的包含关系与集合的包含关系相似；②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．(2)判断事件是否互斥的两个步骤第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．(3)判断事件是否对立的两个步骤第一步，判断是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取1张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．求：(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？事件的运算【解】(1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A＋B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故CA＝A.[变条件、变问法]在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？解：由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故A⊆C，B⊆C，E⊆C，所以C＝A＋B＋E.而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以CF＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.(1)利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．掷一枚骰子，下列事件：A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数大于2}，E＝{点数是3的倍数}．求：(1)AB，BC；(2)A＋B，B＋C；(3)D－，AC，D－＋E－.解：(1)AB＝∅，BC＝{出现2点}．(2)A＋B＝{出现1或2或3或4或5或6点}，B＋C＝{出现1或2或4或6点}．(3)D－＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；AC＝{出现1点}；D－＋E－＝{出现1或2或4或5点}．一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率．利用互斥、对立事件求概率【解】设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.(1)P(射中10环或9环)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P(至少射中7环)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87.所以至少射中7环的概率为0.87.[变问法]在本例条件下，求射中环数小于8环的概率．解：事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，则P(射中环数小于8环)＝P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29.互斥事件、对立事件概率的求解方法(1)互斥事件的概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(2)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．(3)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：人数01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出医生至多2人的概率；(2)求派出医生至少2人的概率．解：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C＋D＋E＋F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P(A＋B)＝1－0.1－0.16＝0.74.1．掷一枚质地均匀的骰子，记事件M＝{出现的点数是1或2}，事件N＝{出现的点数是2或3或4}，则下列关系成立的是()A．M＋N＝{出现的点数是2}B．MN＝{出现的点数是2}C．M⊆N