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知识点分层抽样一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样)．状元随笔应用分层抽样的前提条件①总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．②每层中所抽取的个体差异可按各层个体在总体中所占的比例抽取．③分层抽样要求对总体的情况有一定的了解，明确分层的界限和数目．[基础自测]1．某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适()A．抽签法B．简单随机抽样法C．分层抽样法D．随机数表法解析：总体由差异明显的三部分组成，应选用分层抽样．答案：C2．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A．100B．150C．200D．250解析：法一：由题意可得70n－70＝35001500，解得n＝100，故选A.法二：由题意，抽样比为703500＝150，总体容量为3500＋1500＝5000，故n＝5000×150＝100.答案：A3．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生()A．30人，30人，30人B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人D．30人，50人，10人解析：先求抽样比nN＝903600＋5400＋1800＝1120，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3600×1120＝30(人)，乙校抽取5400×1120＝45(人)，丙校抽取1800×1120＝15(人)，故选B.答案：B4．一个班共有54人，其中男同学、女同学比为，若抽取9人参加教改调查会，则每个男同学被抽取的可能性为________，每个女同学被抽取的可能性为________．解析：男、女每人被抽取的可能是相同的，因为男同学共有54×59＝30(人)，女同学共有54×49＝24(人)，所以每个男同学被抽取的可能性为530＝16，每个女同学被抽取的可能性为424＝16.答案：1616题型一分层抽样的概念[经典例题]例1某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人．为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是()A．抽签法B．简单随机抽样C．分层抽样D．随机数表法【解析】各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据．【答案】C有明显差异用分层抽样．方法归纳各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据，至于各层内用什么方法抽样是灵活的，可用简单随机抽样，也可采用系统抽样．分层抽样中，无论哪一层的个体，被抽中的机会均等，体现了抽样的公平性．跟踪训练1(1)某市有四所重点大学，为了解该市大学生的课外书籍阅读情况，采用下列哪种方法抽取样本最合适(四所大学图书馆的藏书有一定的差距)()A．抽签法B．随机数表法C．简单随机法D．分层抽样法(2)某校高三年级有男生800人，女生600人，为了解该年级学生的身体健康情况，从男生中任意抽取40人，从女生中任意抽取30人进行调查．这种抽样方法是()A．简单随机法B．抽签法C．随机数表法D．分层抽样法解析：(1)因为学校图书馆的藏书对学生课外书籍阅读影响比较大，因此采取分层抽样．(2)总体中个体差异比较明显，且抽取的比例也符合分层抽样．答案：(1)D(2)D关键看是否有明显差异．题型二分层抽样中的相关运算[经典例题]例2[湖北高考题]某市有大型超市200家，中型超市400家，小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市________家．【解析】依据题意，可得抽样比为100200＋400＋1400＝120，故应抽取中型超市400×120＝20(家)．【答案】20状元随笔确定抽样比→用中型超市的总数乘以抽样比即得方法归纳分层抽样中有关抽样比的计算方法对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式巧解：(1)样本容量n总体容量N＝该层抽取的个体数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系求解．跟踪训练2[2019·江苏省启东中学检测]某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________．解析：设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x＝90.则样本中的老年职工人数为90×32160＝18.答案：18题型三分层抽样的应用[经典例题]例3某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12000人，分别来自4个城区，其中东城区2400人，西城区4600人，南城区3800人，北城区1200人，从中抽取60人参加现场的节目，应当如何抽取？写出抽取过程．【解析】采用分层抽样的方式抽取参加现场节目的观众，步骤如下：第一步，分层．按城区分为四层：东城区、西城区、南城区、北城区．第二步，确定抽样比．样本容量n＝60，总体容量N＝12000，故抽样比k＝nN＝6012000＝1200.第三步，按比例确定每层抽取个体数．在东城区抽取2400×1200＝12(人)，在西城区抽取4600×1200＝23(人)，在南城区抽取3800×1200＝19(人)，在北城区抽取1200×1200＝6(人)．第四步，在各层分别用简单随机抽样法抽取样本．将各城区抽取的观众合在一起组成样本.(1)分多少层．(2)比例是多少．(3)每层抽多少．方法归纳(1)如果总体中的个体有差异时，就用分层抽样抽取样本，用分层抽样抽取样本时，要把性质、结构相同的个体，组成一层．(2)每层中所抽取的个体数应按各层个体数在总体中所占的比例抽取，也就是各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即抽样比＝样本容量总体容量.这样抽取能使所得到的样本结构与总体结构相同，可以提高样本对总体的代表性．跟踪训练3在100个产品中，有一等品20个，二等品30个，三等品50个，现要抽取一个容量为30的样本，请说明抽样过程．解析：先将产品按等级分成三层；第一层，一等品20人；第二层，二等品30个；第三层，三等品50个．然后确定每一层抽取的个体数，因为抽样比为30100＝310，所以应在第一层中抽取产品20×310＝6(个)，在第二层中抽取产品30×310＝9(个)，在第三层中抽取产品50×310＝15(个)．分别给这些产品编号并贴上标签，用抽签法或随机数表法在各层中抽取，得到一等品6个，二等品9个，三等品15个，这样就通过分层抽样得到了一个容量为30的样本．由题知有明显差异，利用分层抽样抽样．