2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数复习课课件 新人教A版必修第一册

三角函数第五章复习课(五)三角函数考点一三角函数的概念设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则x＝cosα，y＝sinα，yx＝tanα.三角函数的概念是研究三角函数的基础．【典例1】已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．[解]∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|，当t0时，r＝5t，sinα＝yr＝－3t5t＝－35，cosα＝xr＝4t5t＝45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34；当t0时，r＝－5t，sinα＝yr＝－3t－5t＝35，cosα＝xr＝4t－5t＝－45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34.综上可知，t0时，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34；t0时，sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r0)．则sinα＝yr，cosα＝xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[针对训练]1．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝_____.[解析]r＝x2＋y2＝16＋y2，且sinθ＝－255，所以sinθ＝yr＝y16＋y2＝－255，所以θ为第四角限角，解得y＝－8.[答案]－8考点二同角三角函数的基本关系式和诱导公式由三角函数的概念不难得出同角三角函数的基本关系式、诱导公式，这是化简求值的基础．【典例2】已知f(α)＝sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋αsin－π＋α·tan－α＋3π.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝18，且π4απ2，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－47π4，求f(α)的值．[解](1)f(α)＝sin2α·cosα·tanα－sinα－tanα＝sinα·cosα.(2)由f(α)＝sinα·cosα＝18可知，(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×18＝34，又∵π4απ2，∴cosαsinα，即cosα－sinα0.∴cosα－sinα＝－32.(3)∵α＝－47π4＝－6×2π＋π4，∴f－47π4＝cos－47π4·sin－47π4＝cos－6×2π＋π4·sin－6×2π＋π4＝cosπ4·sinπ4＝22×22＝12.(1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及sinαcosα＝tanα，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sinα±cosα的值，可求cosαsinα.注意应用(cosα±sinα)2＝1±2sinαcosα.(2)诱导公式可概括为k·π2±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．[针对训练]2．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()A．－43B.54C．－34D.45[解析]sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ－2tan2θ＋1，又tanθ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.[答案]D3．若sinθ＝33，则cosπ－θcosθsin3π2－θ－1＋cos2π－θcosπ＋θsinπ2＋θ－sin3π2＋θ的值为________．[解析]原式＝－cosθcosθ－cosθ－1＋cosθ－cosθ·cosθ＋cosθ＝11＋cosθ＋11－cosθ＝21－cosθ·1＋cosθ＝2sin2θ＝2332＝6.[答案]6考点三三角函数的图象与性质函数y＝sinx，y＝cosx的图象可用“五点法”作出，而识别函数的图象可考虑特殊点及三角函数的性质，要熟记y＝sinx、y＝cosx的单调性，区分y＝sinx及y＝tanx的周期及单调增区间，以图助数，数形结合．【典例3】(1)函数f(x)＝sinx|cosx|在区间[－π，π]内的大致图象是下列图中的()(2)若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为2π，且满足f(x)＝cosx，－π≤x0，sinx，0≤xπ，则f－174π＝________.(3)已知f(x)＝sin2x＋cosx，x∈－π3，2π3，则f(x)的值域为________．[解析](1)x∈[－π，π]故排除B，D，当x∈－π，－π2时，cosx0，f(x)＝sinx－cosx＝－tanx，故选C.(2)∵T＝2π，∴f－174π＝f－174π＋2π×2＝f－π4＝cos(－π4)＝22.(3)f(x)＝1－cos2x＋cosx＝－cosx－122＋54.∵x∈－π3，2π3，∴cosx∈－12，1，∴f(x)∈14，54.[答案](1)C(2)22(3)14，54(1)研究三角函数的图象可结合三角函数的定义域、值域、单调区间、特殊点等研究．(2)研究三角函数的奇偶性、单调性、最值等要注意定义域的限制．[针对训练]4．函数f(x)＝sinx1－sinx1－sinx的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又偶函数D．非奇非偶函数[解析]由题意，知sinx≠1，即f(x)的定义域为x|x≠2kπ＋π2，k∈Z，此函数的定义域不关于原点对称．∴f(x)是非奇非偶函数．[答案]D5．函数f(x)＝log12cosx的单调递增区间是___________．[解析]由cosx0得－π2＋2kπxπ2＋2kπ，k∈Z.∵121，∴函数f(x)＝log12cosx的单调递增区间即为u＝cosx，x∈－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)的单调递减区间，即2kπ≤xπ2＋2kπ，k∈Z.故函数f(x)＝log12cosx的单调递增区间为2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)．[答案]2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)