2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换课件 新人教A

最新课程标准：能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).知识点一半角公式状元随笔巧记“半角公式”无理半角常戴帽，象限确定帽前号；数1余弦加减连，角小值大用加号．“角小值大用加号”即y＝1＋cosα(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋”号，而y＝1－cosα为增函数，角大值大，因此用“－”号．知识点二辅助角公式asinx＋bcosx＝________________，其中tanφ＝____.a2＋b2·sin(x＋φ)ba状元随笔1.辅助角公式形式上是asinα＋bcosα(ab≠0)的三角函数式，通过三角恒等变换可写成a2＋b2sin(a＋φ)的形式，其中tanφ＝ba，此公式称为辅助角公式．其中φ可通过tanφ＝ba以及点(a，b)所在的象限来确定．2．辅助角公式的特殊情况sinα±cosα＝2sinα±π4；sinα±3cosα＝2sinα±π3；cosα±3sinα＝2sinπ6±α.[教材解难]1．有了半角公式，只需知道cosα的值及相关的角的范围便可求α2的正弦、余弦、正切的值．2．对于Sα2和Cα2，α∈R，但是使用Tα2时，要保证α≠(2k＋1)π(k∈Z)．3．半角公式根号前符号的确定规律如下：(1)当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号.αα2sinα2cosα2tanα2第一象限第一、三象限＋，－＋，－＋第二象限第一、三象限＋，－＋，－＋第三象限第二、四象限＋，－－，＋－第四象限第二、四象限＋，－－，＋－(2)当给出角α的范围(即某一区间)时，可先求α2的范围，再根据α2的范围来确定各三角函数值的符号．(3)若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号．[基础自测]1．若cosα＝13，且α∈(0，π)，则cosα2的值为()A.63B．－63C．±63D．±33解析：因为α∈(0，π)，所以α2∈0，π2.所以cosα2＝1＋cosα2＝23＝63.答案：A2．下列各式中，值为12的是()A．sin15°cos15°B．cos2π6－sin2π6C.tan30°1－tan230°D.1＋cos60°2解析：选项A中，原式＝12sin30°＝14；选项B中，原式＝cosπ3＝12；选项C中，原式＝12×2tan30°1－tan230°＝12tan60°＝32；选项D中，原式＝cos30°＝32.故选B.答案：B3．化简2cosx＋6sinx等于()A．22cosπ6－xB．22cosπ3－xC．22cosπ6＋xD．22cosπ3＋x解析：2cosx＋6sinx＝2212cosx＋32sinx＝22cosπ3cosx＋sinπ3sinx＝22cosπ3－x.答案：B4．若3sinx－3cosx＝23sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.解析：∵3sinx－3cosx＝2332sinx－12cosx＝23sinx－π6，因φ∈(－π，π)，∴φ＝－π6.答案：－π6题型一半角公式的应用[经典例题]例1已知sinα＝－45，πα3π2，求sinα2，cosα2，tanα2的值．【解析】∵πα3π2，sinα＝－45，∴cosα＝－35，且π2α23π4，∴sinα2＝1－cosα2＝255，cosα2＝－1＋cosα2＝－55，tanα2＝sinα2cosα2＝－2.利用半角公式求值．方法归纳解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值跟踪训练1(1)求值：sinπ8＝________；cosπ8＝________.解析：(1)sinπ8＝1－cosπ42＝1－222＝2－22；cosπ8＝1＋cosπ42＝1＋222＝2＋22.答案：2－222＋22由sinπ80，所以1－cosπ42.由cosπ80，则cosπ8＝1＋cosπ42.(2)2＋2cos8＋21－cos8的化简结果是________．解析：原式＝21＋2cos24－1＋21－1－2sin24＝2|cos4|＋22|sin4|＝－2cos4－22sin4.答案：－2cos4－22sin4半角是相对的，4是8的半角，利用公式化简.题型二三角恒等式的证明例2若πα3π2，证明：1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα＝－2cosα2；【证明】左边＝sin2α2＋cos2α2＋2sinα2cosα21＋2cos2α2－1－1－1－2sin2α2＋sin2α2＋cos2α2－2sinα2cosα21＋2cos2α2－1＋1－1－2sin2α2＝sinα2＋cosα222cosα2－sinα2＋sinα2－cosα222cosα2＋sinα2因为πα3π2，所以π2α23π4，所以sinα20cosα2.所以左边＝sinα2＋cosα222－cosα2－sinα2＋sinα2－cosα222－cosα2＋sinα2＝－12sinα2＋cosα2＋12sinα2－cosα2＝－2cosα2＝右边．所以原等式成立.等式左边复杂，应从左边入手，利用公式化简，同时注意α的范围．方法归纳三角恒等式证明的思路通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一．跟踪训练2求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.证明：方法一左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos2αsinα2cosα2cosα＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边．所以原式成立．方法二左边＝cos2αtanα21－tan2α2＝12cos2α·2tanα21－tan2α2＝12cos2αtanα＝12cosαsinα＝14sin2α＝右边．所以原式成立．左边复杂，从左边入手化简，先切化弦再利用倍角、半角公式化简．题型三三角恒等变换与三角函数的综合[教材P227例9]例3求下列函数的周期，最大值和最小值：(1)y＝sinx＋3cosx；(2)y＝3sinx＋4cosx.【解析】(1)y＝sinx＋3cosx＝212sinx＋32cosx＝2sinxcosπ3＋cosxsinπ3＝2sinx＋π3.因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为－2.(2)设3sinx＋4cosx＝Asin(x＋φ)，则3sinx＋4cosx＝Asinxcosφ＋Acosxsinφ.于是Acosφ＝3，Asinφ＝4，于是A2cos2φ＋A2sin2φ＝25，所以A2＝25.取A＝5，则cosφ＝35，sinφ＝45，由y＝5sin(x＋φ)可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为－5.状元随笔便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是y＝Asin(x＋φ)，利用和角公式将其展开，可化为y＝asinx＋bcosx的形式.反之，利用和(差)角公式，可将y＝asinx＋bcosx转化为y＝Asin(x＋φ)的形式；进而就可以求得其周期和最值了.教材反思函数的解析式的次数可以降低，项数可以减少时，要先化简解析式成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式再研究其图象及性质．跟踪训练3已知函数f(x)＝sin2x＋23sinxcosx＋3cos2x，x∈R，(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间－π6，π3上的值域．解析：(1)f(x)＝1－cos2x2＋3sin2x＋31＋cos2x2＝2＋3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6＋2，所以最小正周期T＝2π2＝π，因为－π2＋2kπ≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z时，f(x)为单调递增函数，所以f(x)的单调递增区间为kπ－π3，kπ＋π6，k∈Z.(2)由(1)知f(x)＝2＋2sin2x＋π6，由于－π6≤x≤π3，所以2x＋π6∈－π6，5π6，所以sin2x＋π6∈－12，1，所以f(x)∈[1,4]，所以f(x)在区间－π6，π3上的值域为[1,4]．利用二倍角公式，降幂公式化简函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再利用性质求解．思想方法构建三角函数模型，解决实际问题例如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．【分析】解答本题可设∠PAB＝θ并用θ表示PR，PQ.根据S矩形PQCR＝PQ·PR列出关于θ的函数式，求最大值、最小值．【解析】如图，连接AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于M，则AM＝90cosθ，MP＝90sinθ.所以PQ＝MB＝100－90cosθ，PR＝MR－MP＝100－90sinθ.所以S矩形PQCR＝PQ·PR＝(100－90cosθ)(100－90sinθ)＝10000－9000(sinθ＋cosθ)＋8100sinθcosθ.令t＝sinθ＋cosθ(1≤t≤2)，则sinθcosθ＝t2－12.所以S矩形PQCR＝10000－9000t＋8100·t2－12＝81002t－1092＋950.故当t＝109时，S矩形PQCR有最小值950m2；当t＝2时，S矩形PQCR有最大值(14050－90002)m2.【点评】此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，以有利于表示所需线段，其次要确定角的范围．