2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第二课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)教材梳理填空展开式记法两角和的余弦cos(α＋β)＝C(α＋β)两角和的正弦sin(α＋β)＝S(α＋β)两角差的正弦sin(α－β)＝S(α－β)两角和的正切tan(α＋β)＝T(α＋β)两角差的正切tan(α－β)＝T(α－β)cosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβtanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβ(二)基本知能小试1．判断正误(1)两角和与差的余弦公式中角α，β是任意的．()(2)sin(α＋β)＝sinα＋sinβ一定不成立．()(3)sin(α－β)＝sinβcosα－sinαcosβ.()(4)tanα·tanβ，tanα＋tanβ，tan(α＋β)三者知二可表示或求出第三个．()(5)tanπ2＋π3能根据公式tan(α＋β)直接展开．()(6)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×(6)√2．cos75°cos15°－sin75°sin15°的值等于()A．12B．－12C．0D．1解析：原式＝cos(75°＋15°)＝0.答案：C3．3－tan18°1＋3tan18°的值等于()A．tan42°B．tan3°C．1D．tan24°解析：3－tan18°1＋3tan18°＝tan60°－tan18°1＋tan60°tan18°＝tan(60°－18°)＝tan42°.答案：A4．已知α，β为任意角，则下列等式：①sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；②cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；③cosπ2＋α＝－sinα；④tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.其中恒成立的等式有()A．2个B．3个C．4个D．1个解析：①②③中α，β均为任意角，但是④中需要满足正切函数的定义域，还要满足分母不为零，α，β不能为任意角．答案：B题型一给角求值[学透用活]1．两角和与差的正弦公式的一般使用方法(1)正用：把sin(α±β)从左向右展开．(2)逆用：公式的右边化简成左边的形式，当结构不具备条件时，要用相关公式调节后再逆用．(3)变形应用：它涉及两个方面，一是公式本身的变形；二是角的变形，也称为角的拆分变换，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)．2．公式T(α±β)的结构特征和符号规律(2)符号规律：分子同，分母反．(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．[典例1]求值：(1)sin47°－sin17°cos30°cos17°；[解]原式＝sin30°＋17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝12.(2)cosxcosπ3－x－sinxsinπ3－x；(3)tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°；[解](2)原式＝cosx＋π3－x＝cosπ3＝12.(3)∵tan12°＋tan33°1－tan12°tan33°＝tan(12°＋33°)＝tan45°＝1，∴tan12°＋tan33°＝1－tan12°tan33°，∴tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝1.(4)(tan10°－3)·cos10°sin50°.[解]原式＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝sin10°cos10°－sin60°cos60°·cos10°sin50°＝sin10°cos60°－sin60°cos10°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－sin60°－10°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－1cos60°＝－2.[方法技巧]解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．[对点练清]1．tan10°·tan20°＋3(tan10°＋tan20°)的值等于()A.13B.1C.3D.6解析：因为tan10°＋tan20°1－tan10°·tan20°＝tan30°＝33，所以tan10°＋tan20°＝33(1－tan10°·tan20°)．所以原式＝tan10°·tan20°＋1－tan10°·tan20°＝1.答案：B2．3cosπ12－sinπ12的值为()A．0B．－2C．2D．2解析：3cosπ12－sinπ12＝2cosπ6cosπ12－sinπ6·sinπ12＝2cosπ4＝2.答案：C3．(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是()A．3B．1＋2C．2D．2(tan18°＋tan27°)解析：(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2.答案：C题型二给值(式)求值[学透用活][典例2](1)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值；[解]∵cos(α－β)＝1213＞0，π2＜β＜α＜3π4，∴0＜α－β＜π4，sin(α－β)＝513.又sin(α＋β)＝－35，π＜α＋β＜3π2，∴cos(α＋β)＝－45.∴sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－35×1213－45×513＝－5665.(2)已知tan(α＋β)＝35，tanβ－π3＝13，求tanα＋π3的值．[解]tanα＋π3＝tanα＋β－β－π3＝tanα＋β－tanβ－π31＋tanα＋βtanβ－π3＝35－131＋35×13＝29.[方法技巧]给值(式)求值的策略(1)直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝tan45°，1＝sin90°等.1，3，33，12，22等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用．(3)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(4)整体意识：若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．[对点练清]1．[直接求值]设α∈0，π2，若sinα＝35，则cosα＋π3的值为()A.4＋3310B.4－3310C.4＋335D.4－334解析：∵α∈0，π2，sinα＝35，∴cosα＝45，cosα＋π3＝cosαcosπ3－sinαsinπ3＝4－3310，故选B.答案：B2．[整体求值]若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tanπ－αtan－β＝()A．5B．－1C．6D．16解析：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝12，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝13，两式作和得sinαcosβ＝512，两式作差得cosαsinβ＝112，则tanπ－αtan－β＝－tanα－tanβ＝sinαcosβcosαsinβ＝512112＝5.故选A.答案：A3．[变角求值]已知sinα－β2＝45，cosα2－β＝－1213，且α－β2和α2－β分别为第二、第三象限角，求tanα＋β2的值．解：由题意，得cosα－β2＝－35，sinα2－β＝－513，所以tanα－β2＝－43，tanα2－β＝512，所以tanα＋β2＝tanα－β2－α2－β＝tanα－β2－tanα2－β1＋tanα－β2tanα2－β＝－43－5121－43×512＝－6316.题型三给值求角[学透用活][典例3]已知sinα＝55，sinβ＝1010，且α和β均为钝角，求α＋β的值．[解]∵α和β均为钝角，∴cosα＝－1－sin2α＝－255，cosβ＝－1－sin2β＝－31010.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－255×－31010－55×1010＝22.由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝7π4.[方法技巧]根据所给条件，选择适当的三角函数，求出所求角的某种三角函数值．在给值求角问题中，应尽量选择在确定范围内单调的三角函数：(1)若角的范围是0，π2，π，3π2，选正弦函数、余弦函数、正切函数皆可；(2)若角的范围是－π2，π2，最好选正弦函数或正切函数；(3)若角的范围是(0，π)，最好选余弦函数或正切函数．[对点练清]1．已知π＜α＜α＋β＜2π，且满足cosα＝－1213，cos(α＋β)＝17226，则β＝________.解析：∵cosα＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且π＜α＜α＋β＜2π，∴sinα＝－513，sin(α＋β)＝－7226，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－22.∵π＜α＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π，∴β＝3π4.答案：3π42．已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解：tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171－12×－17＝13，而α∈(0，π)，∴α∈0，π2.∵tanβ＝－17，β∈(0，π)，∴β∈π2，π，∴－π＜α－β＜0.而tan(α－β)＝12＞0，∴－π＜α－β＜－π2，∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝tanα－β＋tanα1－tanα－βtanα＝12＋131－12×13＝1.∴2α－β＝－3π4.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．下面各式中，不正确的是()A．sinπ4＋π3＝sinπ4cosπ3＋32cosπ4B．cos5π12＝22sinπ3－cosπ4cosπ3C．cos－π12＝cosπ4cosπ3＋64D．cosπ12＝cosπ3－cosπ4解析：∵sinπ3＝32，∴A正确；∵cos5π12＝－cos7π12＝－cosπ4＋π3，∴B正确；∵cos－π12＝cosπ4－π3，∴C正确；∵cosπ12＝cosπ3－π4≠cosπ3－cosπ4，∴D不正确．答案：D2．若cosα＝－45，α是第三象限角，则sinα＋π4＝()A．－7210B．7210C．－210D．210解析：因为cosα＝－45，α是第三象限角，所以sinα＝－35，由两角和的正弦公式可得sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosαs