2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.4.2 诱导公式 第一课时 正弦函数、余

第一课时正弦函数、余弦函数的性质(一)知识点正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性(一)教材梳理填空(1)函数的周期性①一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个____________，使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且______________,那么函数f（x）就叫做周期函数.____________叫做这个函数的周期.②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的，那么这个最小就叫做f(x)的．正数正数最小正周期非零常数Tf（x+T）=f（x）非零常数T(2)正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sinxy＝cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期________奇偶性____________2π2π奇函数偶函数(二)基本知能小试1．判断正误(1)由于sinπ2＋π4＝sinπ4，所以π2是函数y＝sinx的一个周期．()(2)因为sinx3＋4π＝sinx3，所以函数y＝sinx3的周期为4π.()(3)函数y＝sinπ2x是奇函数．()答案：(1)×(2)×(3)√2．设函数f(x)＝sinx－π3，则f(x)的最小正周期为()A．π2B．πC．2πD．4π解析：函数f(x)＝sinx－π3的最小正周期T＝2π1＝2π.故选C.答案：C3．设函数f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数解析：f(x)＝sin2x－π2＝－sinπ2－2x＝－cos2x，因此f(x)是偶函数，且是最小正周期为2π2＝π的周期函数，故选B.答案：B题型一三角函数的周期[学透用活]对函数最小正周期的理解(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个正数是对x而言的，如y＝sin2x的最小正周期是π，因为y＝sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)，即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x而言的，而非2x.(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．[典例1]求下列函数的最小正周期．(1)f(x)＝cos2x＋π3；[解](1)法一：定义法∵f(x)＝cos2x＋π3＝cos2x＋π3＋2π＝cos2x＋π＋π3＝f(x＋π)，即f(x＋π)＝f(x)，∴函数f(x)＝cos2x＋π3的最小正周期T＝π.法二：公式法∵y＝cos2x＋π3，∴ω＝2.又T＝2π|ω|＝2π2＝π.∴函数f(x)＝cos2x＋π3的最小正周期T＝π.(2)f(x)＝|sinx|.[解]法一：定义法∵f(x)＝|sinx|，∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，∴f(x)的最小正周期为π.法二：图象法作出函数y＝|sinx|的图象如图所示．由图象可知T＝π.[方法技巧]求三角函数周期的方法(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝2π|ω|.(3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．[对点练清]1．[变条件]将本例(2)中的f(x)＝|sinx|改为f(x)＝sin|x|是否还是周期函数？解：作出函数f(x)＝sin|x|的图象，如图所示：由图象知，不是周期函数．2．[变条件]将本例(2)中的f(x)＝|sinx|改为f(x)＝|sinx＋1|是否还是周期函数，最小正周期为多少？解：作出函数f(x)＝|sinx＋1|的图象，如图所示：观察图象知，最小正周期为2π.题型二三角函数奇偶性的判断[学透用活]正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．[典例2](1)函数f(x)＝2sin2x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数(2)判断函数f(x)＝sin34x＋3π2的奇偶性．[解析](1)选A因为f(－x)＝2sin2(－x)＝－2sin2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(2)因为f(x)＝sin34x＋3π2＝－cos3x4，所以f(－x)＝－cos－3x4＝－cos3x4＝f(x)，所以函数f(x)＝sin34x＋3π2为偶函数．[方法技巧]判断函数奇偶性的思路[提醒]判断函数奇偶性时，必须先判断定义域是否关于原点对称，如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数．[对点练清]判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝|sinx|＋cosx；(2)f(x)＝x2cosπ2＋x；(3)f(x)＝sinx－1.解：(1)函数的定义域为R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以此函数是偶函数．(2)函数f(x)的定义域为R，∵f(x)＝x2cosπ2＋x＝－x2sinx，∴f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sinx＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(3)因为sinx－1≥0，所以sinx＝1，x＝2kπ＋π2(k∈Z)．函数定义域不关于原点对称，故f(x)＝sinx－1为非奇非偶函数．题型三三角函数周期性与奇偶性的综合应用[学透用活][典例3](1)下列函数中周期为π2，且为偶函数的是()A．y＝sin4xB．y＝cos14xC．y＝sin4x＋π2D．y＝cos14x－π2[解析]显然周期为π2的有A和C，又因为y＝sin4x＋π2＝cos4x且y＝f(－x)＝cos(－4x)＝f(x)，是偶函数，故选C.[答案]C(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则f5π3等于()A．－12B．1C．－32D．32[解析]因为f(x)的最小正周期为T＝π，所以f5π3＝f5π3－2π＝f－π3，又y＝f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以f5π3＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.[答案]D[方法技巧]三角函数周期性与奇偶性的解题策略解决函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的综合应用问题的基本途径有两种：一是熟练掌握函数y＝sinx，y＝cosx的函数图象，利用基本函数法得到相应的函数性质；二是直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析解决问题．[对点练清]1．[变条件]若本例(2)中“偶”变“奇”其他条件不变，则f5π3的值为________．解析：f5π3＝f－π3＝－fπ3＝－sinπ3＝－32.答案：－322．[变条件]若本例(2)中条件变为：函数f(x)为偶函数且fx＋π2＝－f(x)，fπ3＝1，则f5π3的值为________．解析：∵fx＋π2＝－f(x)，∴f(x＋π)＝f(x)，即T＝π，∴f5π3＝f5π3－2π＝f－π3＝fπ3＝1.答案：1[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：由于x∈R，且f(－x)＝sinx＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．答案：A2．函数y＝sin2x＋5π2的图象的一个对称中心是()A.π8，0B.π4，0C.－π3，0D.3π8，0解析：sin2x＋5π2＝cos2x，由2x＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝kπ2＋π4，k∈Z，令k＝0，得x＝π4.故函数图象的一个对称中心是π4，0.答案：B3．若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ＝________.解析：∵函数y＝sin(x＋φ)是R上的偶函数，∴φ＝π2＋kπ，k∈Z，又∵0≤φ≤π，∴φ＝π2.答案：π24．若函数y＝sinax＋π4的最小正周期是2π3，则a＝________.解析：∵2π|a|＝2π3，∴|a|＝3，∴a＝±3.答案：±3二、创新应用题5．f(x)是以π2为周期的偶函数，且fπ3＝1，求f－17π6的值．解：∵f(x)的周期为π2，且为偶函数，∴f－17π6＝f－3π＋π6＝f－6×π2＋π6＝fπ6.而fπ6＝fπ2－π3＝f－π3＝fπ3＝1，∴f－17π6＝1.