2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.4.2 诱导公式 第二课时 正弦函数、余

第二课时正弦函数、余弦函数的性质(二)知识点正弦函数、余弦函数的单调性(一)教材梳理填空正弦函数余弦函数图象值域______________________单调性在上递增，在上递减最值x＝时，取得最大值1；x＝时，取得最小值－1x＝时，取得最大值1；x＝时，取得最小值－1[－1,1][－1,1]2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)2kπ＋π2，2kπ＋3π2______上递减在上递增，在(k∈Z)[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)π2＋2kπ(k∈Z)－π2＋2kπ(k∈Z)2kπ(k∈Z)2kπ＋π(k∈Z)(二)基本知能小试1．判断正误(1)存在x∈R满足sinx＝2.()(2)函数y＝cos2x在π2，π上是减函数．()(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cosx仅在x＝0时取得最大值1.()答案：(1)×(2)×(3)×2．函数y＝sinx和y＝cosx都是减函数的区间是()A.2kπ＋π2，2kπ＋π(k∈Z)B.2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)C.2kπ＋π，2kπ＋3π2(k∈Z)D.2kπ＋3π2，2kπ＋2π(k∈Z)解析：由y＝sinx是减函数得2kπ＋π2≤x≤2kπ＋3π2(k∈Z)，由y＝cosx是减函数得2kπ≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，所以2kπ＋π2≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，故选A.答案：A3．已知函数f(x)＝sin2x＋3π2(x∈R)，下面结论错误的是()A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)是偶函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝π4对称D．函数f(x)在区间0，π2上是增函数解析：f(x)＝sin2x＋3π2＝－cos2x，最小正周期为π，故A正确；易知函数f(x)是偶函数，故B正确；由函数f(x)＝－cos2x的图象可知，C错误，D正确．答案：C题型一正弦函数、余弦函数的单调性[学透用活]解决有关正弦、余弦函数的单调性的注意点(1)理解正弦函数、余弦函数的单调性，通常作函数y＝sinx，x∈－π2，3π2、y＝cosx，x∈[－π，π]的简图．(2)单调区间要在定义域内求解．(3)确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断．[典例1]求函数y＝2sin2x－π6的单调区间．[解]法一：令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得函数的单调递增区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)；令2kπ＋π2≤2x－π6≤2kπ＋3π2(k∈Z)，解得函数的单调递减区间为kπ＋π3，kπ＋5π6(k∈Z)．法二：令2x－π6＝π2，可得函数的一个最大值点为x＝π3，而函数的最小正周期为T＝π，从而函数的单调递增区间为kπ＋π3－π2，kπ＋π3(k∈Z)，即kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)；函数的单调递减区间为kπ＋π3，kπ＋π3＋π2(k∈Z)，即kπ＋π3，kπ＋5π6(k∈Z)．(1)用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤：[方法技巧]第一步：写出基本函数y＝sinx(或y＝cosx)的相应单调区间；第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；第三步：解关于x的不等式．(2)对于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数的单调区间问题，当ω＜0时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性讨论同上．另外，值得注意的是k∈Z这一条件不能省略．[对点练清]1．[变条件]本例中函数变为y＝2cos2x－π6，问题不变．解：令2kπ－π≤2x－π6≤2kπ(k∈Z)，即2kπ－5π6≤2x≤2kπ＋π6(k∈Z)，∴kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)．∴递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．令2kπ≤2x－π6≤2kπ＋π(k∈Z)，即2kπ＋π6≤2x≤2kπ＋7π6(k∈Z)，∴kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12(k∈Z)，∴递减区间为kπ＋π12，kπ＋7π12(k∈Z)．2．求函数y＝2sinπ4－x的单调增区间．解：y＝2sinπ4－x＝－2sinx－π4，令z＝x－π4，则y＝－2sinz，求y＝－2sinz的增区间，即求y＝sinz的减区间，所以π2＋2kπ≤z≤3π2＋2kπ(k∈Z)，即π2＋2kπ≤x－π4≤3π2＋2kπ(k∈Z)，解得3π4＋2kπ≤x≤7π4＋2kπ(k∈Z)，所以y＝2sinπ4－x的单调增区间是3π4＋2kπ，7π4＋2kπ(k∈Z)．题型二正弦函数、余弦函数单调性的应用[学透用活][典例2]比较下列各组中函数值的大小：(1)cos－23π5与cos－17π4；[解]cos－23π5＝cos－6π＋7π5＝cos7π5，cos－17π4＝cos－6π＋7π4＝cos7π4，∵π＜7π5＜7π4＜2π，且函数y＝cosx在[π，2π]上单调递增，∴cos7π5＜cos7π4，即cos－23π5＜cos－17π4.(2)sin194°与cos160°.[解]sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°＜14°＜70°＜90°，且函数y＝sinx在0°＜x＜90°时单调递增，∴sin14°＜sin70°.从而－sin14°＞－sin70°，即sin194°＞cos160°.(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．[方法技巧](2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．(3)已知正(余)弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解．[对点练清]1．下列结论正确的是()A．sin400°sin50°B．sin220°sin310°C．cos130°cos200°D．cos(－40°)cos310°解析：由cos130°＝cos(180°－50°)＝－cos50°，cos200°＝cos(180°＋20°)＝－cos20°，因为当0°x90°时，函数y＝cosx是减函数，所以cos50°cos20°，所以－cos50°－cos20°，即cos130°cos200°.答案：C2．若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是()A.0，23B.0，32C.23，3D.32，3解析：令π2＋2kπ≤ωx≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π2ω＋2kπω≤x≤3π2ω＋2kπω，k∈Z.∵函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间π3，π2上单调递减，∴π2ω≤π3且3π2ω≥π2，∴32≤ω≤3.答案：D题型三正弦函数、余弦函数的最值(值域)问题[学透用活][典例3]求下列函数的值域：(1)y＝2sin2x＋π3，x∈－π6，π2；[解]∵x∈－π6，π2，∴2x＋π3∈0，4π3.令u＝2x＋π3，又y＝sinu在0，π2上单调递增，∴0≤sin2x＋π3≤1，∴0≤2sin2x＋π3≤2.y＝sinu在π2，4π3上单调递减，∴－32≤sin2x＋π3≤1，∴－3≤2sin2x＋π3≤2，∴函数的值域为[－3，2]．(2)y＝|sinx|＋sinx.[解]∵y＝|sinx|＋sinx＝2sinx，sinx≥0，0，sinx＜0，又sinx≥0时，0≤2sinx≤2，∴函数y＝|sinx|＋sinx的值域为[0,2]．[方法技巧]三角函数最值(值域)问题的三种常见类型及求解方法(1)形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y＝Asin2x＋Bsinx＋C(A≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝At2＋Bt＋C求最值．t的范围需要根据定义域来确定．[对点练清]1．[求y＝asinx型最值]函数f(x)＝－2sinx＋1，x∈－π2，π的值域是()A．[1,3]B．[－1,3]C．[－3,1]D．[－1,1]解析：∵x∈－π2，π，∴sinx∈[－1,1]，∴－2sinx＋1∈[－1,3]．答案：B2．[求y＝Asin2x＋Bsinx＋C型最值]求函数y＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈π6，5π6的最大值和最小值．解：y＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3＝2sin2x＋2sinx＋1＝2sinx＋122＋12.∵x∈π6，5π6，∴12≤sinx≤1.当sinx＝1时，ymax＝5；当sinx＝12时，ymin＝52.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．函数y＝cosx＋π6，x∈0，π2的值域是()A.－32，12B.－12，32C.32，1D.12，1解析：由0≤x≤π2，得π6≤x＋π6≤2π3，∴－12≤cosx＋π6≤32.答案：B2．下列函数中，在区间π2，π上恒正且是增函数的是()A．y＝sinxB．y＝cosxC．y＝－sinxD．y＝－cosx解析：作出四个函数的图象，知y＝sinx，y＝cosx在π2，π上单调递减，不符合；而y＝－sinx的图象虽满足在π2，π上单调递增但其值为负，所以只有D符合，故选D.答案：D3．函数y＝sin2x＋π3的增区间为________．解析：令－π2＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z，得－5π6＋2kπ≤2x≤π6＋2kπ，k∈Z，即－5π12＋kπ≤x≤π12＋kπ，k∈Z，故函数y＝sin2x＋π3的增区间为－5π12＋kπ，π12＋kπ，k∈Z.答案：－5π12＋kπ，π12＋kπ，k∈Z4．已知函数y＝3cos(π－x)，则当x＝________时，函数取得最大值．解析：y＝3cos(π－x)＝－3cosx，当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π，k∈Z时，y有最大值3.答案：2kπ＋π，k∈Z二、创新应用题5．求函数y＝log12sin2x＋π4的单调递增区间．解：由对数函数的定义域和复合函数的单调性，可知sin2x＋π40，2kπ＋π2≤2x＋π4≤2kπ＋3π2k∈Z，解得2kπ＋π2≤2x＋π4＜2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋π8≤x＜kπ＋3π8(k∈Z)，故所求函数的单调递增区间为kπ＋π8，kπ＋3π8(k∈Z)．