2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课件 新

5．4三角函数的图象与性质(一)教材梳理填空函数y＝sinxy＝cosx图象图象画法五点法五点法关键五点，π2，1，，3π2，－1，(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)正(余)弦曲线正(余)弦函数的叫做正(余)弦曲线(0,0)(π，0)(2π，0)π2，03π2，0图象(二)基本知能小试1．判断正误(1)函数y＝cosx的图象与y轴只有一个交点．()(2)将余弦曲线向右平移π2个单位就得到正弦曲线．()(3)函数y＝sinx，x∈π2，5π2的图象与函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象的形状完全一致．()答案：(1)√(2)√(3)√2．对于正弦函数y＝sinx的图象，下列说法错误的是()A．向左右无限伸展B．与y＝cosx的图象形状相同，只是位置不同C．与x轴有无数个交点D．关于y轴对称解析：由正弦曲线知，A、B、C均正确，D不正确．答案：D3．函数y＝－cosx，x∈[0,2π]的图象与y＝cosx，x∈[0,2π]的图象()A．关于x轴对称B．关于原点对称C．关于原点和x轴对称D．关于y轴对称解析：在同一直角坐标系中作出两函数的简图易知A选项正确．答案：A4．请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sinx(0≤x≤2π)的图象时的列表.x0π2①3π22π－sinx②－10③0①________；②________；③________.答案：π01[学透用活]题型一“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象画正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，有五个关键点，它们是(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．因此描出这五点后，正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象的形状基本上就确定了．在描点时，光滑的曲线是指经过最高点或最低点的连线要保持近似“圆弧”的形状，经过位于x轴上的点时要改变“圆弧的圆心位置”．(1)作图时自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，在x轴、y轴上统一单位，作出的图象正规，便于应用．(2)“五点法”作图的五个点，不一定是我们列出的那五个点，如x∈[－π，π]时的五点为(－π，0)，－π2，－1，(0,0)，π2，1，(π，0)．[典例1]用“五点法”画出函数y＝12＋sinx，x∈[0,2π]的图象．[解](1)按五个关键点列表：x0π2π3π22πsinx010－1012＋sinx123212－1212(2)描点，并将它们用光滑的曲线连接起来可得其图象如图所示．[方法技巧]与正弦函数、余弦函数相关函数的图象的画法(1)首先将函数解析式化简，然后根据图象的性质画图．要注意特殊点，如最高点及与坐标轴的交点．(2)也可以根据图象变换作图，如y＝sin|x|的图象关于y轴对称．只要作出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，利用对称性，可以作出y＝sin|x|，x∈[－2π，2π]的图象．[对点练清]1．[变条件]将本例中“x∈[0,2π]”改为“x∈－5π6，7π6”，如何画函数图象．解：(1)列表：x－5π6－π20π2π7π6sinx－12－1010－1212＋sinx0－121232120(2)描点，并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示：2．利用正弦或余弦函数图象作出y＝sinx＋3π2的图象．解：由于y＝sinx＋3π2＝|cosx|，因此只需作出y＝|cosx|的图象即可，而y＝|cosx|可由y＝cosx将x轴下方的图象折到x轴上方，图象如图所示：题型二正、余弦函数图象的简单应用[学透用活][典例2]函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．[解]f(x)＝sinx＋2|sinx|＝3sinx，x∈[0，π]，－sinx，x∈π，2π].图象如图所示．若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则由图象可得k的取值范围是(1,3)．[方法技巧](1)三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便地解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．(2)判断方程解的个数，或由方程解的个数确定参数的取值范围，可利用图象解题，当方程含有正、余弦函数时，可借助正、余弦曲线探究问题的解法．[对点练清]1．[解不等式]使不等式2－2sinx≥0成立的x的取值集合是()A.x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋3π4，k∈ZB.x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋7π4，k∈ZC.x2kπ－5π4≤x≤2kπ＋π4，k∈ZD.x2kπ＋5π4≤x≤2kπ＋7π4，k∈Z解析：解不等式2－2sinx≥0，即解sinx≤22，作出y＝sinx及直线y＝22如图所示．由图知，不等式的解集为x2kπ－5π4≤x≤2kπ＋π4，k∈Z.答案：C2．[判断方程解的个数]在同一坐标系中，作函数y＝sinx和y＝lgx的图象，根据图象判断出方程sinx＝lgx的解的个数为________．解析：建立平面直角坐标系xOy，先画出函数y＝sinx的图象，描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lgx的图象，如图所示．由图象可知方程sinx＝lgx的解有3个．答案：33．[求函数定义域]求下列函数的定义域．(1)f(x)＝2sinx＋1；解：要使f(x)＝2sinx＋1有意义，则必须满足2sinx＋1≥0，即sinx≥－12，作出正弦曲线如图所示．结合图象可知，函数f(x)＝2sinx＋1的定义域为x2kπ－π6≤x≤2kπ＋7π6，k∈Z.(2)f(x)＝sinx－cosx.解：要使函数f(x)＝sinx－cosx有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的图象，所以函数f(x)＝sinx－cosx的定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．用“五点法”作y＝2sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是()A．0，π2，π，32π，2πB．0，π4，π2，34π，πC．0，π，2π，3π，4πD．0，π6，π3，π2，2π3解析：由五点作图法，令2x＝0，π2，π，32π，2π，解得x＝0，π4，π2，34π，π.答案：B2．函数y＝2－sinx，x∈[0,2π]的简图是()解析：列表：x0π2π3π22πsinx010－102－sinx21232观察各图象发现A项符合．答案：A3．函数y＝1＋cosx－12的定义域为________．解析：由cosx－12≥0，得cosx≥12，∴－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ，k∈Z，∴函数y＝1＋cosx－12的定义域为x－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ，k∈Z.答案：x－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ，k∈Z4．函数y＝cosx＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点坐标为________．解析：作出函数y＝cosx＋4，x∈[0,2π]的图象(图略)，容易发现它与直线y＝4的交点坐标为π2，4，3π2，4.答案：π2，4，3π2，4二、创新应用题5．若函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．解：作出函数y＝2cosx，x∈[0,2π]的图象，函数y＝2cosx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知，该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，∴S阴影＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.