2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.1.2 弧度制课件 新人教A版必修第一册

知识点一角度制与弧度制(一)教材梳理填空(1)度量角的两种制度①角度制：定义：用作为单位来度量角的单位制；1度的角等于周角的.②弧度制：定义：以作为单位来度量角的单位制；1弧度的角：长度等于的圆弧所对的圆心角．度1360弧度半径长(2)弧度数正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝.正数负数0lr(3)角度与弧度的换算角度化弧度弧度化角度360°＝________2πrad＝360°180°＝______πrad＝_____1°＝π180rad≈0.01745rad1rad＝180π°≈57.30°度数×π180＝弧度数弧度数×180π°＝度数2πradπrad180°(二)基本知能小试1．判断正误(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.()(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．()(3)1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的12π.()(4)1rad的角比1°的角要大．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．下列转化结果错误的是()A．60°化成弧度是π3B．－103π化成度是－600°C．－150°化成弧度是－76πD．π12化成度是15°解析：对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B，－10π3＝－103×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D，π12＝112×180°＝15°.故C项错误．答案：C3．与角－π6终边相同的角是()A.5π6B.π3C.11π6D.2π3解析：与角－π6终边相同的角的集合为αα＝－π6＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，α＝－π6＋2π＝11π6，故选C.答案：C知识点二扇形的弧长和面积公式(一)教材梳理填空设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝.(2)扇形面积公式：S＝＝.α·R12lR12αR2(二)基本知能小试1．判断正误(1)扇形的半径为1cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30(cm)．()(2)圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，扇形的面积不变．()答案：(1)×(2)×2．半径为2，圆心角为π6的扇形的面积是________．解析：由扇形的面积公式可得，此扇形的面积是12×π6×22＝π3.答案：π3题型一角度制与弧度制的互化[学透用活](1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．[典例1](1)①将112°30′化为弧度为________；②将－5π12rad化为度为________．(2)将下列各角化成0到2π的角加上2kπ(k∈Z)的形式．①193π；②－315°.[解析](1)①因为1°＝π180rad，所以112°30′＝π180×112.5rad＝5π8rad.②因为1rad＝180π°，所以－5π12rad＝－5π12×180π°＝－75°.答案：①5π8②－75°(2)①193π＝6π＋π3.②－315°＝－7π4＝－2π＋π4.[方法技巧]进行角度制与弧度制互化的原则和方法(1)原则：牢记180°＝πrad，充分利用1°＝π180rad和1rad＝180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝α·180π°；n°＝n·π180.[对点练清]设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝4π5，β2＝－11π6.(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．解：(1)∵1°＝π180rad，∴α1＝510°＝510×π180＝176π，α2＝－750°＝－750×π180＝－256π.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限．(2)β1＝4π5＝4π5×180°π＝144°.设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．∵－360°≤θ1＜360°，∴－360°≤k·360°＋144°＜360°.∴k＝－1或k＝0.∴在－360°～360°范围内与β1终边相同的角是－216°.β2＝－11π6＝－11π6×180°π＝－330°.设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)．∵－360°≤θ2＜360°，∴－360°≤k·360°－330°＜360°.∴k＝0或k＝1.∴在－360°～360°范围内与β2终边相同的角是30°.题型二用弧度表示有关的角[学透用活]1．用弧度表示与α终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)的注意点(1)2kπ是2π(一周角的大小)的整数倍，而不是π的整数倍；(2)角度制与弧度制不能混用，如60°＋2kπ(k∈Z)是错误的．2．象限角的表示例如：第一象限角的集合为α2kπ＜α＜2kπ＋π2，k∈Z.3．轴线角的表示例如：终边在坐标轴上的角的集合为αα＝kπ2，k∈Z.[典例2]用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图)．[解](1)以OA为终边的角为π6＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－2π3＋2kπ(k∈Z)．∴阴影部分内的角的集合为α－2π3＋2kπ＜α＜π6＋2kπ，k∈Z.(2)以OA为终边的角为π3＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为2π3＋2kπ(k∈Z)．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1＝α2kπ＜α＜π3＋2kπ，k∈Z，M2＝α2π3＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.∴阴影部分所表示的集合为M1∪M2＝α2kπ＜α＜π3＋2kπ，k∈Z或2π3＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.[方法技巧]根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形；(2)写出区域边界作为终边时角的表示；(3)用不等式表示区域角．用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，能合并的要合并．[对点练清]1．与9π4角的终边相同的角的表达式中，正确的是()A．2kπ＋45°，k∈ZB．k·360°＋9π4，k∈ZC．k·360°－315°，k∈ZD．kπ＋5π4，k∈Z解析：弧度和角度不能出现在同一个表达式中，故选项A、B错误．kπ＋5π4，k∈Z表示的角是第一、三象限角，9π4是第一象限角，故选C.答案：C2．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是()A.π6，π3B.2π3，7π6C.2π3，7π6D.2kπ＋2π3，2kπ＋7π6(k∈Z)解析：阴影部分的两条边界分别是2π3和7π6角的终边，所以α的取值范围是2kπ＋2π3，2kπ＋7π6(k∈Z)．答案：D题型三扇形的弧长与面积公式[学透用活](1)灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程(组)求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题．(2)公式的变形①|α|＝lr⇔l＝r|α|，r＝l|α|；②S＝12lr⇒r＝2Sl，l＝2Sr；S＝12|α|r2⇒|α|＝2Sr2，r＝2S|α|.[典例3]已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；(2)若扇形的周长是定值C(C＞0)，当|α|为多少弧度时，该扇形的面积最大？[解](1)设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝π3，R＝10，∴l＝10π3，S弓＝S扇－S△＝12×10π3×10－34×102＝50π3－32.(2)扇形周长C＝2R＋l，∴l＝C－2R，∴S扇＝12Rl＝12R(C－2R)＝－R2＋12RC＝－R－C42＋C216，∴当R＝C4时，S扇有最大值且为C216，此时l＝C－2R＝C2，∴|α|＝lR＝C2·4C＝2.故|α|＝2时，该扇形的面积最大．[方法技巧]1．扇形问题的计算技巧涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．2．弧长、面积的最值问题利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积，利用函数知识求最值，一般多利用二次函数的最值求解．[对点练清]1．[利用公式求圆心角的弧度数]已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为________．解析：设扇形的半径为rcm，圆心角α所对的弧长为lcm.由题意得l＋2r＝10，12lr＝4.解得l＝8，r＝1或l＝2，r＝4，∴α＝8或12.又∵0＜α＜2π，∴α＝12.答案：122．[利用公式求扇形的半径]若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．解析：∵216°＝216×π180＝6π5，∴l＝α·r＝6π5r＝30π，∴r＝25.答案：253．[利用公式求扇形面积的最值及弧长]已知扇形AOB的周长为10cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时的弧长．解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，由l＋2r＝10得l＝10－2r，S＝12lr＝12(10－2r)·r≤1410－2r＋2r22＝254，当且仅当10－2r＝2r，即r＝52时，S取得最大值254，这时l＝10－2×52＝5，故该扇形的面积的最大值为254cm2，及取得最大值时的弧长为5cm.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．已知α＝6π7，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为π26π7π，所以角α的终边在第二象限．答案：B2．下列各对角中，终边相同的是()A.3π2和2kπ－3π2(k∈Z)B.－π5和22π5C.－7π9和11π9D.20π3和122π9解析：在弧度制下，终边相同的角相差2π的整数倍．答案：C3．某扇形的半径为1cm，它的周长为4cm，那么该扇形的圆心角为________．解析：由题意可得扇形的弧长为4－2×1＝2(cm)，则扇形的圆心角为21＝2.答案：24．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________．解析：－135°＝－135×π180＝－3π4；11π3＝113×180°＝660°.答案：－3π4660°二、创新应用题5．已知集合A＝{α|2kπα(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－5≤α≤5}，求A∩B.解：由题意知，A＝…∪{α|－2πα－π}∪{α|0απ}∪{α|2πα3π}∪…，又B＝{α|－5≤α≤5}，两集合在数轴上的表示如图所示．∴A∩B＝{α|－5≤α－π或0απ}．