2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5.1 函数的零点与方程的解课

4．5函数的应用(二)(一)教材梳理填空(1)函数的零点对于一般函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有．f(x)＝0零点公共点(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条的曲线，且有.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的解．连续不断f(a)f(b)＜0f(c)＝0(二)基本知能小试1．判断正误(1)函数的零点是一个点．()(2)任何函数都有零点．()(3)函数y＝x的零点是O(0,0)．()(4)若函数f(x)满足f(a)·f(b)＜0，则函数在区间[a，b]上至少有一个零点．()(5)函数的零点不是点，它是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，是方程f(x)＝0的根．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．函数f(x)＝log2x的零点是()A．1B．2C．3D．4答案：A3．函数f(x)＝2x－1x的零点所在的区间是()A.(1，＋∞)B.12，1C.13，12D.14，13解析：由f(x)＝2x－1x，得f12＝212－2＜0，f(1)＝2－1＝1＞0，∴f12·f(1)＜0.∴零点所在区间为12，1.答案：B4．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有______个．解析：∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.答案：3题型一求函数的零点或判断零点个数[学透用活][典例1]求下列函数的零点：(1)f(x)＝(lgx)2－lgx；(2)f(x)＝x3－2x2－x＋2.[解](1)令(lgx)2－lgx＝0，则lgx(lgx－1)＝0，∴lgx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10，因此函数f(x)的零点是1,10.(2)令x3－2x2－x＋2＝0，得x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝1或x＝2，∴函数f(x)有3个零点，分别为－1,1,2.[方法技巧](1)零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点的定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根，即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．(3)求函数的零点就是求相应方程的解．[对点练清]1．[求函数的零点]已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x＞1，则函数f(x)的零点为()A．12，0B．－2,0C．12D．0解析：当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0；当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝12，此时无解．综上所述，函数f(x)的零点为0.故选D.答案：D2．[判断零点的关系]已知函数f(x)＝|log3x|，若函数y＝f(x)－m有两个不同的零点a，b，则()A．a＋b＝1B．a＋b＝3mC．ab＝1D．b＝am解析：∵函数y＝f(x)－m有两个不同的零点a，b，∴a≠b且f(a)＝f(b)，∵f(x)＝|log3x|，∴log3a＋log3b＝0，即log3a＋log3b＝log3(ab)＝0，∴ab＝1，故选C.答案：C3．[判断零点的个数]函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析：由题意可知，函数f(x)＝x2－2x的零点个数等于函数y＝2x与y＝x2的图象交点个数．画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象，如图．由图象可得有3个交点．故选D.答案：D题型二判断零点所在的区间[学透用活][典例2]f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)[解析]法一：∵：f(0)＝－10，f(1)＝e－10，∴f(x)在(0,1)内有零点．法二：ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，所以原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0,1)．[答案]C[方法技巧]确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．[提醒]函数零点存在定理是不可逆的，f(a)·f(b)＜0⇒函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但是函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，不一定能推出f(a)·f(b)＜0.[对点练清]1．[确定方程根所在区间]由表格中的数据，可以断定方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是()x01234ex12.727.3920.0954.603x＋22581114A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：设f(x)＝ex－3x－2，由题表知，f(0)、f(1)、f(2)均为负值，f(3)、f(4)均为正值，因此方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间为(2,3)，故选C.答案：C2．[已知零点所在区间求参数值]设x0是方程lnx＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.解析：令f(x)＝lnx＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f(2)＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3－1＞0，∴f(x)仅在(2,3)内有零点，∴k＝2.答案：23．[已知零点所在区间求参数范围]若函数f(x)＝x－13x＋a的零点在区间(1，＋∞)上，则实数a的取值范围是________．解析：易知函数f(x)＝x－13x＋a在定义域上单调递增，又∵函数f(x)＝x－13x＋a的零点在区间(1，＋∞)上，∴f(1)＝23＋a＜0，∴a＜－23.答案：－∞，－23题型三二次函数零点分布问题[学透用活]二次函数零点的分布，一般有两种题型：(1)二次函数在某一个区间内有两个零点，一般情况下需要从以下三个方面考虑：①对应一元二次方程根的判别式；②区间端点函数值的正负；③对应二次函数的图象——抛物线的对称轴x＝－b2a在区间内．(2)二次函数在某一个区间内仅有一个零点，只需考虑区间端点函数值的正负．[典例3]已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，分别求出下列条件成立的情况下，实数a的取值范围：(1)两个零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．[解](1)由已知并结合二次函数的图象，得Δ＝－2a2－16≥0，f1＝5－2a＞0，－－2a2＞1.解得2≤a＜52，故实数a的取值范围是2，52.(2)由已知并结合二次函数的图象得f(1)＝5－2a＜0，解得a＞52，因此实数a的取值范围是52，＋∞.(3)由已知并结合二次函数的图象与零点存在性定理，得f0＝4＞0，f1＝5－2a＜0，f6＝40－12a＜0，f8＝68－16a＞0，解得103＜a＜174，因此实数a的取值范围是103，174.[方法技巧]解决根的分布问题的注意事项及方法(1)解决有关根的分布问题应注意以下几点：①首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．②结合草图考虑四个方面：a.Δ与0的大小；b.对称轴与所给端点值的关系；c.端点的函数值与零的关系；d.开口方向．③写出由题意得到的不等式(组)并检验条件的完备性．(2)解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．[对点练清]1．已知函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，则实数a的取值范围是()A．(－3,0)B．(－3，＋∞)C．(－∞，0)D．(0,3)解析：已知函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，则f－2＞0，f0＜0，f2＜0，f3＞0，即8＋a＞0，a＜0，3＋a＞0，解得－3＜a＜0.答案：A2．求证：方程5x2－7x－1＝0的一个根在区间(－1,0)上，另一个根在区间(1,2)上．证明：由Δ＝69＞0，得方程共有两个不等实根，设f(x)＝5x2－7x－1，则f(－1)＝5＋7－1＝11，f(0)＝－1，f(1)＝5－7－1＝－3，f(2)＝20－14－1＝5.∵f(－1)·f(0)＝－11＜0，f(1)·f(2)＝－15＜0，且f(x)＝5x2－7x－1的图象在R上是连续不断的，∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上分别有零点，即方程5x2－7x－1＝0的一个根在区间(－1,0)上，另一个根在区间(1,2)上．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间()A．(5,6)B．(3,4)C．(2,3)D．(1,2)解析：f(3)＝log33－8＋2×3＝－1＜0，f(4)＝log34－8＋2×4＝log34＞0.又因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)．答案：B2．下列图象表示的函数中没有零点的是()解析：没有零点就是函数图象与x轴没有交点，故选A.答案：A3．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，∴2＋3＝a，2×3＝－b，即a＝5，b＝－6，∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－12，－13，即为函数g(x)的零点．答案：－12，－134．函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________.解析：∵b－a＝1，a，b∈N*，f(1)＝3＋1－5＝－1＜0，f(2)＝9＋2－5＝6＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∴a＝1，b＝2，∴a＋b＝3.答案：3二、创新应用题5．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求a的值．解：当a＝0时，y＝－x－1＝0⇒x＝－1，符合题意；当a≠0时，函数y＝ax2－x－1为二次函数，因为函数只有一个零点，∴Δ＝1＋4a＝0⇒a＝－14，符合题意．故实数a＝0或a＝－14.