搜索
知识点三种函数模型的比较(一)教材梳理填空函数y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝kx(k＞0)在(0，＋∞)上的增减性___________________________随x的增大函数图象逐渐与平行逐渐与平行保持增长共同点在区间(0，＋∞)上，三种函数都是________增长速度_________增长速度_________保持不变增长速度的比较不同点存在一个正数x0，当x＞x0时，有a0x＞kx0＞logax0y轴x轴增函数单调递增单调递增单调递增越来越快越来越慢(二)基本知能小试1．判断正误(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．()(2)对任意的x＞0，kx＞logax.()(3)对任意的x＞0，ax＞logax.()(4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝exB．y＝lnxC．y＝3xD．y＝e－x答案：A3．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用()A．一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型答案：D4．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为___________________________．答案：y＝－14x＋50(0＜x＜200)题型一三类函数模型增长差异的比较[学透用活]指数函数、对数函数和一次函数的增长差异比较(1)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)、y＝logax(a＞1)和y＝kx(k＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．(2)随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，也称为“指数爆炸”，会超过并远远大于y＝kx(k＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．[典例1]甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论：①当x＞1时，甲走在最前面；②当x＞1时，乙走在最前面；③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为________．[解析]在同一直角坐标系中作出这四个函数的图象(图略)，易得①错误．因为f1(2)＝22－1＝3，f2(2)＝22＝4，所以f1(2)＜f2(2)，所以x＝2时，乙在甲的前面；②错误．因为f1(5)＝25－1＝31，f2(5)＝52＝25，所以f1(5)＞f2(5)，所以x＝5时，甲在乙的前面；③正确．当0＜x＜1时，f1(x)，f2(x)的图象在f3(x)图象的下方，f4(x)的图象在f3(x)图象的上方，即丁走在最前面；当x＞1时，f4(x)的图象在最下方，即丁走在最后面；④正确．当0＜x＜1时，丙在甲、乙前面，在丁后面；当x＞1时，丙在丁前面，在甲、乙后面；当x＝1时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱；⑤正确．当x充分大时，指数函数的增长速度越来越快，f1(x)的图象必定在f2(x)、f3(x)、f4(x)的上方，所以最终走在最前面的是甲．故填③④⑤.[答案]③④⑤[方法技巧]常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝logax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．[对点练清]1．下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6xB．y＝log6xC．y＝x2D．y＝6x解析：D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．答案：B2．“红豆生南国，春来发几枝”．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是()A．指数函数y＝2tB．对数函数y＝log2tC．幂函数y＝t3D．二次函数y＝2t2解析：根据已知所给的关系图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A.答案：A题型二函数模型的选择[学透用活][典例2]某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？[解]作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．[方法技巧]几类不同增长函数模型选择的方法(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型.(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．[对点练清]某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7解：在坐标轴上标出t(年)与h(米)之间的关系如图所示．由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理．不妨将(2,1)代入h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．题型三不同增长的函数模型的图象特征[学透用活][典例3]函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出图中C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．[解](1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢．[方法技巧]由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．[对点练清]1．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011.58522.3222.5852.8073…其中关于x呈指数函数变化的函数是________．解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.答案：y12．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝116t－a(a为常数)，如图所示，根据图中所提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少要经过________小时后，学生才能回到教室．解析：(1)由图象可知，当0≤t≤0.1时，y＝10t；当t0.1时，由1＝1160.1－a，得a＝0.1，则当t0.1时，y＝116110t-.故y＝10t，0≤t≤110，116110t-，t110.(2)由题意可知，116110t-0.25，得t0.6.答案：(1)y＝10t，0≤t≤110，116110t-，t110(2)0.6[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是()A．y＝x2B．y＝log2xC．y＝2xD．y＝2x答案：D2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()A．y＝a＋bxB．y＝a＋bxC．y＝ax2＋bD．y＝a＋bx解析：在坐标系中描出各点，知模拟函数为y＝a＋bx.答案：B3．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．解析：把x＝1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．答案：甲4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方，则f(x)＞g(x)．答案：f(x)＞g(x)二、创新应用题5．某地发生地震，各地纷纷捐款捐物，甲、乙、丙三个公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区．甲公司的代表说：“在10天内，我们公司每天捐款5万元给灾区．”乙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元．”丙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番．”你觉得哪个公司在10天内捐款最多？解：三个公司在10天内捐款情况如下表所示.公司捐款数量/万元时间甲公司乙公司丙公司第1天510.1第2天520.2第3天530.4第4天540.8第5天551.6第6天563.2第7天576.4第8天5812.8第9天5925.6第10天51051.2总计5055102.3由上表可以看出，丙公司捐款最多，为102.3万元，即丙公司在10天内捐款最多．