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[基础自测]1．函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则()A．f(x)＝lgxB．f(x)＝log2xC．f(x)＝lnxD．f(x)＝xe解析：易知y＝f(x)是y＝ex的反函数，所以f(x)＝lnx.答案：C2．若log3a＜0，13b＞1，则()A．a＞1，b＞0B．0＜a＜1，b＞0C．a＞1，b＜0D．0＜a＜1，b＜0解析：由函数y＝log3x，y＝13x的图象知，0＜a＜1，b＜0.答案：D3．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()A．y＝3xB．y＝103xC．y＝log2xD．y＝x3解析：指数函数模型增长速度最快，故选A.答案：A4．函数f(x)＝log3(4x－x2)的递增区间是________．解析：由4x－x2＞0得0＜x＜4，函数y＝log3(4x－x2)的定义域为(0,4)．令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，当x∈(0,2]时，u＝4x－x2是增函数，当x∈(2,4]时，u＝4x－x2是减函数．又∵y＝log3u是增函数，∴函数y＝log3(4x－x2)的增区间为(0,2]．答案：(0,2]题型一比较大小[教材P133例3]例1比较下列各题中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．【解析】(1)log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值．因为底数2＞1，对数函数y＝log2x是增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5.(2)log0.31.8和log0.32.7可看作函数y＝log0.3x的两个函数值．因为底数0.3＜1，对数函数y＝log0.3x是减函数，且1.8＜2.7，所以log0.31.8＞log0.32.7.(3)loga5.1和loga5.9可看作函数y＝logax的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论．当a＞1时，因为函数y＝logax是增函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，因为函数y＝logax是减函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＞loga5.9.构造对数函数，利用函数单调性比较大小．教材反思比较对数值大小时常用的三种方法跟踪训练1(1)设a＝log2π，b＝log12π，c＝π－2，则()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞a(2)比较下列各组值的大小：①log230.5，log230.6.②log1.51.6，log1.51.4.③log0.57，log0.67.④log3π，log20.8.【解析】(1)a＝log2π＞1，b＝log12π＜0，c＝π－2∈(0,1)，所以a＞c＞b.(2)①因为函数y＝log23x是减函数，且0.5＜0.6，所以log230.5＞log230.6.②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4.③因为0＞log70.6＞log70.5，所以1log70.6＜1log70.5，即log0.67＜log0.57.④因为log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，所以log3π＞log20.8.【答案】(1)C(2)①log230.5＞log230.6.②log1.51.6＞log1.51.4.③log0.67＜log0.57.④log3π＞log20.8.状元随笔(1)选择中间量0和1，比较大小．(2)①②③利用对数函数的单调性比较大小．④用中间量0比较大小．题型二解对数不等式例2(1)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，则x的取值范围为________；(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．【答案】(1)(1，＋∞)(2)答案见解析【解析】(1)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.72x＜log0.7(x－1)得2x＞0，x－1＞0，2x＞x－1，解得x＞1，即x的取值范围是(1，＋∞)．(2)loga(x－1)≥loga(3－x)，当a＞1时，有x－1＞0，3－x＞0，x－1≥3－x，解得2≤x＜3.当0＜a＜1时，有x－1＞0，3－x＞0，x－1≤3－x，解得1＜x≤2.综上可得，当a＞1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2,3)；当0＜a＜1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0且a≠1)中x的取值范围是(1,2]．状元随笔(1)利用函数y＝log0.7x的单调性求解．(2)分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，解不等式．方法归纳两类对数不等式的解法(1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式．①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x)．(2)形如logaf(x)＜b的不等式可变形为logaf(x)＜b＝logaab.①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab；②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab.跟踪训练2(1)满足不等式log3x＜1的x的取值集合为________；(2)根据下列各式，确定实数a的取值范围：①log1.5(2a)＞log1.5(a－1)；②log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a)．答案：(1){x|0＜x＜3}(2)①(1，＋∞)②(－1,1)解析：(1)因为log3x＜1＝log33，所以x满足的条件为x＞0，log3x＜log33，即0＜x＜3.所以x的取值集合为{x|0＜x＜3}．(2)①函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数．因为log1.5(2a)＞log1.5(a－1)，所以2a＞a－1，a－1＞0，解得a＞1，即实数a的取值范围是a＞1.②函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，因为log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a)，所以a＋1＞0，3－a＞0，a＋1＜3－a，解得－1＜a＜1.即实数a的取值范围是－1＜a＜1.(1)log33＝1.(2)由对数函数的单调性求解．题型三对数函数性质的综合应用例3已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值．【解析】(1)由题意得1＋x＞0，3－x＞0，解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的定义域为(－1,3)．(2)因为f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)]＝loga(－x2＋2x＋3)＝loga[－(x－1)2＋4]，若0＜a＜1，则当x＝1时，f(x)有最小值loga4，所以loga4＝－2，a－2＝4，又0＜a＜1，所以a＝12.若a＞1，则当x＝1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值．综上可知，a＝12.真数大于0.分0＜a＜1，a＞1两类讨论．方法归纳1．解答y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数需注意的问题①要注意变量的取值范围．例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，则f(g(x))＝log2(x2＋x)中需要g(x)＞0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x中需要x＞0.②判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．2．形如y＝logaf(x)的函数的单调性判断首先要确保f(x)＞0，当a＞1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性一致．当0＜a＜1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性相反．跟踪训练3已知函数f(x)＝log2(1＋x2)．求证：(1)函数f(x)是偶函数；(2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．证明：(1)函数f(x)的定义域是R，f(－x)＝log2[1＋(－x)2]＝log2(1＋x2)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(2)设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝log2(1＋x21)－log2(1＋x22)＝log21＋x211＋x22，由于0＜x1＜x2，则0＜x21＜x22，则0＜1＋x21＜1＋x22，所以0＜1＋x211＋x22＜1.又函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，所以log21＋x211＋x22＜0.所以f(x1)＜f(x2)．所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．(1)函数是偶函数，f(－x)＝f(x)．(2)用定义法证明函数是增函数．题型四几类函数模型的增长差异例4(1)下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2018xB．y＝x2018C．y＝log2018xD．y＝2018x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A(2)y2状元随笔(1)由题意，指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1，y2，y3，y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练4分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1.5850.由此可知，在区间[1，＋∞)上，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．状元随笔在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象，从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：