2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.4.1 对数函数的概念课件 新

4.4对数函数(一)教材梳理填空(1)对数函数的概念函数y＝(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为(0，＋∞)．(2)特殊的对数函数常用对数函数以为底的对数函数自然对数函数以为底的对数函数logax10y＝lgx无理数ey＝lnx(二)基本知能小试1．判断正误(1)对数函数的定义域为R.()(2)y＝log2x2与logx3都不是对数函数．()(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．()答案：(1)×(2)√(3)√2．下列函数是对数函数的是()A．y＝log2xB．y＝ln(x＋1)C．y＝logxeD．y＝logxx答案：A3．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是()A．[1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，1]答案：B4．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为()A．y＝log2xB．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4xD．不确定解析：由条件设函数的解析式为y＝logax(a＞0，且a≠1)，由2＝loga4，∴a2＝4，∴a＝2.答案：A题型一对数函数的概念[学透用活]对数函数概念的注意点形式对数函数的概念与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．例如：y＝2log2x，y＝log5x5都不是对数函数，可称其为对数型函数定义域由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)底数对数函数对底数的限制：a＞0，且a≠1[典例1]指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝logx5；(4)log2x＋1.[解](1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加上1，不是对数函数．[方法技巧]判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.[对点练清]1．下列函数是对数函数的是()A．y＝loga(2x)B．y＝log22xC．y＝logx4D．y＝lgx解析：选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax(a＞0，且a≠1)”的形式，只有D选项符合．答案：D2．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.解析：a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.答案：13．已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则f132＝________.解析：设对数函数f(x)＝logax(a0，且a≠1)，∵f(x)的图象过点P(8,3)，∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.∴f(x)＝log2x.f132＝log2132＝log22－5＝－5.答案：－5题型二对数型函数的定义域[学透用活][典例2]求下列函数的定义域：(1)y＝x2－4lgx＋3；(2)y＝log2(16－4x)；(3)y＝log(3x－1)(2x＋3)．[解](1)要使函数有意义，需x2－4≥0，x＋3＞0，x＋3≠1，解得x≤－2或x≥2，x＞－3，x≠－2，即－3＜x＜－2或x≥2，故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．(2)要使函数有意义，需16－4x＞0，得4x＜16＝42，由指数函数的单调性得x＜2，所以函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x＜2}．(3)要使函数有意义，需2x＋3＞0，3x－1＞0，3x－1≠1，解得x＞－32，x＞13，x≠23，所以x＞13且x≠23，故所求函数的定义域为13，23∪23，＋∞.[方法技巧]求对数型函数定义域的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负．(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.(4)若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形．[对点练清]1．与函数y＝10lg(x－1)相等的函数是()A．y＝x－1x－12B．y＝|x－1|C．y＝x－1D．y＝x2－1x＋1解析：y＝10lg(x－1)＝x－1(x＞1)，而y＝x－1x－12＝x－1(x＞1)，故选A.答案：A2．求下列函数的定义域：(1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log(1－x)5；(3)y＝ln4－xx－3.解：(1)要使函数式有意义，需1－x0，解得x1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x1}．(2)要使函数式有意义，需1－x0，1－x≠1，解得x1，且x≠0，所以函数y＝log1－x5的定义域是{x|x1，且x≠0}．(3)要使函数式有意义，需4－x0，x－3≠0，解得x4，且x≠3，所以函数y＝ln4－xx－3的定义域是{x|x4，且x≠3}．题型三对数函数的实际应用[学透用活][典例3]某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？[解](1)由题意知y＝0.15x，0≤x≤10，1.5＋2log5x－9，x＞10.(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，即log5(x－9)＝2，∴x－9＝52，解得x＝34.所以老江的销售利润是34万元．[方法技巧]实际问题中对数模型要建模准确，计算时充分利用对数运算性质，注意变量的实际意义易定位．[对点练清]某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为()A．300只B．400只C．500只D．600只解析：由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.答案：A[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为()A．y＝log4xB．y＝log14xC．y＝log12xD．y＝log2x解析：由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.答案：D2．函数y＝log122x－1的定义域是()A．[1，＋∞)B．(0，＋∞)C．[0,1]D．(0,1]解析：由函数的解析式得log12(2x－1)≥0＝log121.∴02x－1≤1，即1＜2x≤2，解得0＜x≤1.答案：D3．函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，则实数a＝________.解析：由a2－3a＋3＝1，得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2，又因为a0，且a≠1，∴a＝2.答案：2二、创新应用题4．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋1x－3；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．解：(1)要使函数有意义，需满足x－2＞0，x－3≠0，解得x＞2且x≠3，∴函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，需满足16－4x＞0，x＋1＞0，x＋1≠1，解得－1＜x＜0或0＜x＜4，∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,4)．