2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数（第3课时）不同函

第3课时不同函数增长的差异第四章指数函数与对数函数第四章指数函数与对数函数考点学习目标核心素养函数模型的增长差异了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义数学抽象、数学建模函数模型的选取能根据具体问题选择函数模型，构建函数模型求解问题数学建模问题导学预习教材P136－P138，并思考以下问题：1．函数y＝kx(k0)、y＝ax(a1)和y＝logax(a1)在(0，＋∞)上的单调性是怎样的？2．函数y＝kx(k0)、y＝ax(a1)和y＝logax(a1)的增长速度有什么不同？三种函数模型的性质y＝kx(k＞0)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)在(0，＋∞)上的增减性________________________图象的变化趋势一条直线随x增大逐渐近似与____平行随x增大逐渐近似与____平行增函数增函数增函数y轴x轴y＝kx(k＞0)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)增长速度(1)y＝ax(a＞1)随着x的增大，y增长速度___________，即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a1)的______________________________________________的增长速度(2)y＝logax(a1)随着x的增大，y增长速度___________，不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当xx0时，恒有__________越来越快增长速度最终都会大大超过y＝kx(k0)越来越慢logaxkx判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．()(2)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．()(3)当a1，k0时，对∀x∈(0，＋∞)，总有logaxkxax.()√××下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝exB．y＝lnxC．y＝2xD．y＝e－x答案：A已知y1＝2x，y2＝2x，y3＝log2x，当2x4时，有()A．y1y2y3B．y2y1y3C．y1y3y2D．y2y3y1答案：A某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()A．y＝ax＋bB．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·ex＋bD．y＝alnx＋b解析：选B.由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是________．函数模型的增长差异【解析】从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．故填y2.【答案】y2常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝2xC．f3(x)＝log2xD．f4(x)＝2x解析：选D.由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故选D.某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年的生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份201620172018产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2016、2017、2018、2019定义为第一、二、三、四年．现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系？函数模型的选取【解】建立生产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1，8)，(2，18)，(3，30)．(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点坐标代入，可得a＋b＋c＝8，4a＋2b＋c＝18，9a＋3b＋c＝30，解得a＝1，b＝7，c＝0，则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，将点坐标代入，可得ab＋c＝8，ab2＋c＝18，ab3＋c＝30，解得a＝1253，b＝65，c＝－42，则g(x)＝1253×65x－42，故g(4)＝1253×654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，二次函数模型f(x)＝x2＋7x能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系．不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？解：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．1．下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6xB．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x解析：选B.D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是()x45678910y15171921232527A.一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型解析：选A.随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．3．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：x1.99345.18y0.991.582.012.353.00现有如下4个模拟函数：①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x.请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．解析：画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④.答案：④4．已知函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)f(x)，当x∈(x1，x2)时，g(x)f(x)，当x∈(x2，＋∞)时，g(x)f(x)．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放