2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.1.2 无理数指数幂及其运算性

(一)教材梳理填空(1)无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．(2)实数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．②(ar)s＝(a＞0，r，s∈R)．③(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈R)．实数arsarbr(二)基本知能小试1．判断正误(1)22是实数．()(2)2π＞23.()答案：(1)√(2)√2．化简123·4π为()A．2π－B．22π－C．2＋πD．22π＋3333解析：原式＝2－·22π＝22π－.答案：B333．化简(3＋2)·(3－2).3－23－2解：原式＝3＋23－2＝1＝1.3－23－2题型一无理数指数幂的运算[学透用活][典例1]已知102＝a,103＝b,105＝c.求1032235的值．[解]1032235＝1032×1051023＝1023×1051032＝a3cb2.[方法技巧]进行无理数指数幂的运算时，注意运算性质的正用、逆用．注意无理数指数幂也是一个实数．[对点练清]1．由下面的两串有理数指数幂逐渐逼近，可以得到的数为()(1)21.7,21.73,21.732,21.7320,21.73205，…(2)21.8,21.74,21.733,21.7321,21.73206，…A．21.7B．21.8C．23D．4解析：由于3的不足近似值为1.7,1.73,1.732,1.7320,1.73205，…，3的过剩近似值为1.8,1.74,1.733,1.7321,1.73206，…，所以由(1)(2)两串有理数指数幂所逼近得到的数为23.答案：C2．计算：3π×13π＋2222＋15的值为()A．17B．18C．6D．5解析：3π×13π＋2222＋15＝3×13π＋2222＋1＝1π＋24＋1＝18.答案：B题型二指数幂的运算[学透用活][典例2]计算下列各式：(1)2350＋2－2·21412－(0.01)0.5；(2)(0.064)13－－780＋[(－2)3]43＋16－0.75；(3)1412·4ab－130.1－2a3b－312(a＞0，b＞0)．[解](1)原式＝1＋14×4912－110012＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(3)原式＝412·432100·a32·a32·b32·b32＝425a0b0＝425.[方法技巧]利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．[对点练清]计算下列各式：(1)0.02713－61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0；(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；(3)23a÷46a·b·3b3.解：(1)原式＝[(0.3)3]13－52212＋(44)34＋(232)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝96715.(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－13a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－13ac－1＝－a3c.(3)原式＝2a13÷(4a16b16)·(3b32)＝12a1136b16·3b32＝32a16b43.题型三条件求值[学透用活][典例3]已知a12＋a12＝5，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[解](1)将a12＋a12＝5两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，∴a2＋a－2＝7.[方法技巧]条件求值的步骤[对点练清]1．[变结论]在本例条件下，则a2－a－2＝________.解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±35，即a2－a－2＝±35.答案：±352．[变条件]已知a12－a12＝m，求本例中(1)(2)的值．解：(1)将a12－a12＝m平方，得a＋a－1－2＝m2，∴a＋a－1＝m2＋2.(2)将a＋a－1＝m2＋2平方，得a2＋a－2＋2＝(m2＋2)2，∴a2＋a－2＝m4＋4m2＋2.3．已知a2x＝2＋1，求a3x＋a－3xax＋a－x的值．解：令ax＝t，则t2＝2＋1，所以a3x＋a－3xax＋a－x＝t3＋t－3t＋t－1＝t＋t－1t2－t·t－1＋t－2t＋t－1＝t2＋t－2－1＝2＋1＋12＋1－1＝2＋1＋2－1－1＝22－1.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．化简[3－52]34的结果为()A．5B．5C．－5D．－5解析：[3－52]34＝[(－5)23]34＝512＝5.答案：B2．计算(2a－3b23)·(－3a－1b)÷(4a－4b53)得()A．－32b2B.32b2C．－32b73D.32b73解析：原式＝－6a－4b134a－4b53＝－32b2.答案：A3．计算3222＝________.解析：3222＝232.答案：2324．若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝________.解析：∵10x＝3，∴102x＝9，∴102x－y＝102x10y＝94.答案：94二、创新应用题5．计算(或化简)下列各式：(1)421·2322-·6423；(2)a－ba12＋b12－a＋b－2a12·b12a12－b12.解：(1)原式＝(22)21·2322-·(26)23＝222+2·2322-·2－4＝222+2+3224＝21＝2.(2)原式＝a12＋b12a12－b12a12＋b12－a12－b122a12－b12＝a12－b12－a12－b12＝0.