2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 根式课件 新人教A版必

指数函数与对数函数第四章4．1指数第1课时根式课前自主预习1．理解n次方根、n次根式的概念．2．正确运用根式运算性质化简、求值．3．体会分类讨论思想、符号化思想的作用．1．根式的概念一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的，其中n1，且n∈N*.(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示．(2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为，负数没有偶次方根．n次方根na±na(3)0的任何次方根都是0，记作.式子na叫做根式，其中n(n1，且n∈N*)叫做根指数，a叫做被开方数．n0＝02．根式的性质根据n次方根的意义，可以得到：(1)(na)n＝.(2)当n是奇数时，nan＝a；当n是偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.温馨提示：(na)n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而(nan)中a∈R.a1．若x4＝3，这样的x有几个，如何表示？[答案]有2个，表示为±432．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意实数的奇次方根只有一个．()(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．()(3)当n∈N*时，(n－16)n都有意义．()(4)3－π2＝π－3.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√课堂互动探究题型一根式的意义【典例1】下列说法正确的个数是()①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义．A．1B．2C．3D．4(2)已知m10＝2，则m等于()A.102B．－102C.210D．±102[思路导引]利用n次方根的概念求解．[解析](1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④.(2)∵m10＝2，∴m是2的10次方根．∴m＝±102.[答案](1)B(2)Dn(n1)次方根的个数及符号的确定(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．(2)根式na的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：①当n为偶数时，na为非负实数；②当n为奇数时，na的符号与a的符号一致．[针对训练]1．16的平方根为________，－27的5次方根为________．[解析]∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为5－27.[答案]±45－272．若4x－2有意义，则实数x的取值范围是________．[解析]要使4x－2有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．[答案][2，＋∞)题型二简单根式的化简与求值【典例2】化简下列各式：(1)5－25；(2)4－104；(3)4－92；(4)4a－b4.[思路导引]利用nan的性质进行化简．[解](1)5－25＝－2.(2)4－104＝|－10|＝10.(3)4－92＝434＝3.(4)4a－b4＝|a－b|＝a－ba≥b，b－aab.根式的化简求值注意以下2点(1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．[针对训练]3．计算下列各式的值：(1)3－43；(2)63－π6；(3)31＋23＋41－24；(4)42x＋y4.[解](1)3－43＝－4.(2)63－π6＝|3－π|＝π－3.(3)31＋23＋41－24＝(1＋2)＋(2－1)＝22.(4)42x＋y4＝|2x＋y|＝2x＋y，y≥－2x，－2x－y，y－2x.题型三有限制条件的根式化简【典例3】设x∈[1,2]，化简(4x－1)4＋6x2－4x＋43.[思路导引]借助根式的性质去掉根号并化简．[解](4x－1)4＋6x2－4x＋43＝(4x－1)4＋6x－26∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0.∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.[变式]若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件不变，化简求值．[解](4x－1)4＋6x2－4x＋43＝(4x－1)4＋6x－26∵2≤x≤3，∴x－10，x－2≥0，∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.有限制条件根式的化简策略(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[针对训练]4．若nm0，则m2＋2mn＋n2－m2－2mn＋n2等于()A．2mB．2nC．－2mD．－2n[解析]原式＝m＋n2－m－n2＝|m＋n|－|m－n|，∵nm0，∴m＋n0，m－n0，∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.[答案]C5．设－2x2，求x2－2x＋1－x2＋4x＋4的值．[解]原式＝x－12－x＋22＝|x－1|－|x＋2|，∵－2x2，∴当－2x1时，原式＝－(x－1)－(x＋2)＝－2x－1，当1≤x2时，原式＝x－1－(x＋2)＝－3，∴原式＝－2x－1，－2x1，－3，1≤x2.课堂归纳小结1．一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况．n为奇数时，n次方根只有一个；n为偶数时，正数的n次方根有两个，负数没有偶次方根.2.掌握两个公式：(1)(na)n＝a；(2)n为奇数，nan＝a，n为偶数，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.