2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 n次方根与分数指数幂课

第四章指数函数与对数函数4．1指数知识点一根式的概念及其性质(一)教材梳理填空(1)n次方根定义一般地，如果xn＝a，那么叫做a的，其中n＞1，且n∈N*a＞0x＞0n是奇数a＜0x＜0x仅有一个值，记为a＞0x有两个值，且互为相反数，记为个数n是偶数a＜0x不存在xn次方根na±na(2)根式①定义：式子叫做根式，这里n叫做，a叫做．②性质：(n＞1，且n∈N*)(na)n＝；nan＝，n为奇数，，n为偶数.na根指数被开方数aa|a|(二)基本知能小试1．判断正误(1)任意实数的奇次方根只有1个．()(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．()(3)3－π2＝3－π.()答案：(1)√(2)√(3)×2．若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是()A.4a2B.5aC.5－aD.4a解析：当a＜0时，a的偶次方根无意义．答案：D3．当x＜0时，x＋4x4＋3x3x＝________.解析：原式＝x＋|x|＋xx＝x－x＋1＝1.答案：1知识点二分数指数幂的意义(一)教材梳理填空正分数指数幂规定：amn＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)负分数指数幂规定：amn－＝1amn＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)分数指数幂性质0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂nam1nam没有意义0(二)基本知能小试1．判断正误(1)a4＝5a10.()(2)a32＝a23.()(3)用分数指数幂表示a－b3(a＞b)为(a－b)23.()答案：(1)√(2)×(3)×2．5a－2可化为()A．a25B．a52C．a25D．－a52解析：5a－2＝a25.答案：A3．323可化为()A.2B.3C.39D.9解析：323＝332＝39.答案：C知识点三有理数指数幂的运算性质(一)教材梳理填空(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)．arsarbr(二)基本知能小试1．判断正误(1)(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8.()(2)(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3.()(3)(－a3)2·(－b2)3＝a6b6.()(4)[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．化简[(－3)2]1 2的结果是()A．－33B．3C．33D．－3解析：原式＝31 2＝13＝33.答案：C3．计算：π0＋2－2×21412＝________.解析：原式＝1＋122×94＝1＋14×32＝118.答案：118题型一根式的化简与求值[学透用活]根式化简的思想是利用乘法公式将被开方数变形为幂的形式，用根式的性质将根式化简，解题时要注意公式的适用范围，特别是在化简含有字母的根式时要注意字母的取值范围．[典例1]化简：(1)nx－πn(x＜π，n∈N*)；(2)4a2－4a＋1a≤12.[解](1)∵x＜π，∴x－π＜0，当n为偶数时，nx－πn＝|x－π|＝π－x；当n为奇数时，nx－πn＝x－π.综上，nx－πn＝π－x，n为偶数，n∈N*，x－π，n为奇数，n∈N*.(2)4a2－4a＋1＝2a－12.∵a≤12，∴2a－1≤0.∴4a2－4a＋1＝1－2a.[方法技巧]根式化简应遵循的3个原则(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式．(2)被开方数是带分数的要化成假分数．(3)被开方数中不能含有分母；使用ab＝a·b(a≥0，b≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．[对点练清]1．[根式的概念]在①4－42n，②4－42n＋1，③5a4，④4a5(n∈N，a∈R)各式中，一定有意义的是()A．①②B．①③C．①②③④D．①③④解析：(－4)2n＞0，故①有意义；(－4)2n＋1＜0，故②无意义；③显然有意义；当a＜0时，a5＜0，此时4a5无意义，故④不一定有意义．答案：B2．[根式的性质]化简x＋32－3x－33得()A．6B．2xC．6或－2xD．6或2x或－2x解析：原式＝|x＋3|－(x－3)，当x≥－3时，原式＝6；当x＜－3时，原式＝－2x，故选C.答案：C3．[带条件的根式的化简]若n＜m＜0，则m2＋2mn＋n2－m2－2mn＋n2等于()A．2mB．2nC．－2mD．－2n解析：原式＝|m＋n|－|m－n|，∵n＜m＜0，∴m＋n＜0，m－n＞0.故原式＝－2m.答案：C题型二根式与分数指数幂的互化[学透用活]根式的运算中，常把根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算法则进行计算，最后将结果化为根式．解题时一般认为字母取正数，若允许字母取负数时，要注意将分数指数幂的底数化为正数才能运用运算法则．[典例2]将下列根式化成分数指数幂形式．(1)3a·4a；(2)aaa；(3)3a2·a3；(4)(3a)2·ab3.[解](1)3a·4a＝a13·a14＝a712.(2)原式＝a12·a14·a18＝a78.(3)原式＝a23·a32＝a136.(4)原式＝(a13)2·a12·b32＝a76b32.[方法技巧]在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：amn＝nam和a mn＝1amn＝1nam，其中字母a要使式子有意义．[对点练清]1．用根式的形式表示下列各式(x0，y0)：(1)x23；(2)x35；(3)x12y47.解：(1)x23＝3x2.(2)x35＝15x3.(3)x12y47＝7y4x.2．用分数指数幂表示下列各式：(1)3a·6－a(a＜0)；(2)4b2323(b＜0)；(3)13x5x22(x≠0)．解：(1)原式＝a13·(－a)16＝－(－a)13·(－a)16＝－(－a)12(a＜0)．(2)原式＝b212343＝(－b)19(b＜0)．(3)原式＝1x13·x4153＝1x35＝x35.题型三分数指数幂的运算[学透用活][典例3]计算下列各式(式子中字母都是正数)：(1)(0.027)23＋271251 3－2790.5；(2)－2a13b4 3·－a12b1 36÷－2a53b11 82.[解](1)(0.027)23＋271251 3－2790.5＝32710002＋312527－259＝9100＋53－53＝0.09.(2)原式＝－2a133＋b324－－÷4a10 3b11 4＝－12a101033b111144＝－12.[方法技巧]指数幂的一般运算步骤(1)有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号．(4)底数是小数，先要化成分数．(5)底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．[对点练清]化简3ab2·a3b23b·a16b124(a，b为正数)的结果是()A．baB．abC．abD．a2b解析：原式＝ab213·a3·b212b13·a23·b2＝a132 623·b11+1233--＝ab.故选C.答案：C[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．已知：n∈N，n＞1，那么2n－52n等于()A．5B．－5C．－5或5D．不能确定解析：2n－52n＝2n52n＝5.答案：A2．已知xy≠0，且4x2y2＝－2xy，则有()A．xy0B．xy0C．x0，y0D．x0，y0解析：4x2y2＝2xy2＝|2xy|.∵4x2y2＝－2xy，∴|2xy|＝－2xy.又∵xy≠0，∴xy0.答案：A3．计算：1120－(1－0.5－2)÷27823＝________.解析：原式＝1－(1－22)÷322＝1－(－3)×49＝73.答案：734．若x3，则x2－6x＋9－|2－x|＝__________.解析：x2－6x＋9－|2－x|＝x－32－|2－x|＝|x－3|－|2－x|＝x－3－(x－2)＝－1.答案：－1二、创新应用题5．已知4a4＋4b4＝－a－b，求4a＋b4＋3a＋b3的值．解：因为4a4＋4b4＝－a－b.所以4a4＝－a，4b4＝－b，所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.