2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数概念与性质 3.4 函数的应用（一）课件 新人教A

3．4函数的应用(一)新课程标准1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.题型一一次函数模型[学透用活][典例1]某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施．方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费．(1)若工厂每月生产3000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明．(2)若工厂每月生产6000件时，你作为厂长又该如何决策呢？[解]设工厂生产x件产品时，依方案1的利润为y1，依方案2的利润为y2，则y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000，y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000.因为y1y2，故应选择第2个方案处理污水．(2)当x＝6000时，y1＝114000元，y2＝108000元．因为y1y2，故应选择第1个方案处理污水．[方法技巧]一次函数模型的特点和求解方法(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．[对点练清]车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元．(1)若设自行车停放的辆次为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；(2)若估计前来停放的3500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围．解：(1)由题意得y＝0.3x＋0.5(3500－x)＝－0.2x＋1750(x∈N*且0≤x≤3500)．(2)若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，则3500×(1－40%)≤x≤3500×(1－25%)，即2100≤x≤2625.画出函数y＝－0.2x＋1750(2100≤x≤2625)的图象，可得函数y＝－0.2x＋1750(2100≤x≤2625)的值域是[1225,1330]，即收入在1225元至1330元之间．题型二二次函数模型[学透用活][典例2]牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k0)．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．(2)求羊群年增长量的最大值．(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．[解](1)据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，则蓄养率为xm，故空闲率为1－xm，由此可得y＝kx1－xm(0xm)．(2)对原二次函数配方，得y＝－km(x2－mx)＝－kmx－m22＋km4，即当x＝m2时，y取得最大值km4.(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，即0x＋ym.因为当x＝m2时，ymax＝km4，所以0m2＋km4m，解得－2k2.又因为k0，所以0k2.故k的取值范围为(0,2)．[方法技巧]解决二次函数模型应用题的四个步骤(1)审题：理解题意，设定变量x，y；(2)建模：建立二次函数关系，并注明定义域；(3)解模：运用二次函数相关知识求解；(4)结论：回归到应用问题中去，给出答案．[对点练清]某地预计明年从年初开始的前x个月内，某种商品的需求总量f(x)(万件)与月份x的近似关系为f(x)＝1150x(x＋1)(35－2x)(x∈N，且x≤12)．(1)写出明年第x个月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式．(2)求哪个月份的需求量最大？最大值为多少？解：(1)由题意知：g(x)＝f(x)－f(x－1)＝1150x(x＋1)(35－2x)－1150(x－1)x[35－2(x－1)]＝1150x[(x＋1)(35－2x)－(x－1)(37－2x)]＝1150x(72－6x)＝125x(12－x)．∴g(x)＝125x(12－x)(x∈N且x≤12)．(2)g(x)＝x25(12－x)＝－125(x2－12x＋36－36)＝－125(x－6)2＋3625，∴当x＝6时，g(x)有最大值3625.即第六个月需求量最大，为3625万件．题型三幂函数模型的应用[学透用活][典例3]某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．[解析]由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.[答案]125[方法技巧]处理幂函数模型的步骤(1)阅读理解、认真审题；(2)用数学符号表示相关量，列出函数解析式；(3)根据幂函数的性质推导运算，求得结果；(4)转化成具体问题，给出解答．[对点练清]在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为400cm3/s，求该气体通过半径为rcm的管道时，其流量R的函数解析式；(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量．解：(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)．(2)由r＝3cm，R＝400cm3/s，得k·34＝400，∴k＝40081，∴流量R的函数解析式为R＝40081·r4.(3)∵R＝40081·r4，∴当r＝5cm时，R＝40081×54≈3086(cm3/s).题型四分段函数模型的应用[学透用活][典例4]提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)[解](1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝60，0≤x≤20，13200－x，20＜x≤200.(2)依题意并结合(1)可得f(x)＝60x，0≤x≤20，13x200－x，20＜x≤200.当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，f(x)在区间[0,20]上取得最大值60×20＝1200；当20＜x≤200时，f(x)＝13x(200－x)＝－13(x－100)2＋100003≤100003，当且仅当x＝100时，等号成立．所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值100003.综上可得，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时．[方法技巧](1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型．(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.[对点练清]通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(min)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经实验分析得知：f(t)＝－t2＋24t＋100，0＜t≤10，240，10＜t≤20，－7t＋380，20＜t≤40.(1)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5min与讲课开始后25min比较，何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？解：(1)当0＜t≤10时，f(t)＝－t2＋24t＋100是增函数，当20＜t≤40时，f(t)＝－7t＋380是减函数，且f(10)＝f(20)＝240，所以讲课开始10min，学生的注意力最集中，能持续10min.(2)因为f(5)＝195，f(25)＝205，所以讲课开始后25min比讲课开始后5min学生的注意力更集中．(3)当0＜t≤10时，令f(t)＝－t2＋24t＋100＝180，得t＝4，当20＜t≤40时，令f(t)＝－7t＋380＝180，得t≈28.57，又28.57－4＝24.57＞24，所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1000吨，则每吨800元，购买2000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨()A．820元B．840元C．860元D．880元解析：设y＝kx＋b，则1000＝800k＋b，且2000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9000，则y＝－10x＋9000.解400＝－10x＋9000，得x＝860(元)．答案：C2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝4x，1≤x＜10，x∈N*，2x＋10，10≤x＜100，x∈N*，1.5x，x≥100，x∈N*.其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为()A．15B．40C．25D．130解析：令y＝60，若4x＝60，则x＝1510，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40100，不合题意，故拟录用人数为25.答案：C3．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(单位：kg)与其运费(单位：元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.解析：设一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，代入点(30,330)与点(40,630)，得330＝30a＋b，630＝40a＋b，解得a＝30，b＝－570.即y＝30x－570，若要免费，则y≤0，∴x≤19.答案：194．生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时生产的机器为__________台．解析：设该厂获利润为g(x),则g(x)＝25x－y＝25x－(x2－75x)＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2500,当x＝50时，g(x)有最大值2500万元．答案：50二、创新应用题5．某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h