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3．2.2奇偶性第1课时函数奇偶性的概念第三章函数的概念与性质考点学习目标核心素养函数奇偶性的判断结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法数学抽象，逻辑推理奇、偶函数的图象了解函数奇偶性与函数图象对称性之间的关系直观想象奇、偶函数的应用会利用函数的奇偶性解决简单问题数学运算第三章函数的概念与性质问题导学预习教材P82－P84，并思考以下问题：1．奇函数与偶函数的定义是什么？2．奇、偶函数的定义域有什么特点？3．奇、偶函数的图象有什么特征？1．偶函数(1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有_________，且__________________，那么函数f(x)就叫做偶函数．(2)图象特征：图象关于_________对称．2．奇函数(1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有_________，且________________，那么函数f(x)就叫做奇函数．(2)图象特征：图象关于_________对称．－x∈If(－x)＝f(x)y轴－x∈If(－x)＝－f(x)原点■名师点拨(1)奇、偶函数定义域的特点由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．(2)奇、偶函数的对应关系的特点①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f（－x）f（x）＝－1(f(x)≠0)；②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f（－x）f（x）＝1(f(x)≠0)．(3)函数奇偶性的三个关注点①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈I，其中定义域I是关于原点对称的非空集合；③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．()(2)函数f(x)＝x2的图象关于原点对称．()(3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝－f(1)，则函数f(x)一定是奇函数．()(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()√××√下列函数为奇函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝1x3D．y＝－x2＋14解析：选C.A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数，故选C.若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为()A．－2B．2C．0D．不能确定解析：选B.因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)解析：①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数．答案：②④①③若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________．解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.答案：－20判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；(3)f(x)＝1－x2x；(4)f(x)＝x＋1，x0，－x＋1，x0.函数奇偶性的判断【解】(1)因为x∈R，所以－x∈R，又因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)因为函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]．即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，又因为f(－x)＝1－（－x）2－x＝－1－x2x＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x0时，－x0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x0时，－x0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法(2)图象法[注意]对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式．1．给定四个函数：①y＝x3＋3x；②y＝1x(x0)；③y＝x3＋1；④y＝x2＋1x.其中是奇函数的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B.①函数的定义域为R，f(x)＝x3＋3x，f(－x)＝－(x3＋3x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数；③函数的定义域为R，f(0)＝0＋1＝1≠0，则函数f(x)为非奇非偶函数；④函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝x2＋1－x＝－x2＋1x＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数．2．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是()A．y＝x＋f(x)B．y＝xf(x)C．y＝x2＋f(x)D．y＝x2f(x)解析：选B.因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以y＝x＋f(x)是奇函数．对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，所以y＝xf(x)是偶函数．对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，所以y＝x2＋f(x)为非奇非偶函数．对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，所以y＝x2f(x)是奇函数．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．奇、偶函数的图象(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的递增区间；(3)根据图象写出使f(x)0的x的取值集合．【解】(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．(3)据图可知，使f(x)0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)．1．(变问法)本例条件下，y取何值时，有四个不同的x值与之对应？解：结合图象可知，满足条件的y的取值范围是(－1，0).2.(变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？解：(1)由题意作出函数图象如图所示：(2)据图可知，单调递增区间为(－1，1)．(3)据图可知，使f(x)0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞)．巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性．(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象．(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．[注意]作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0)．已知函数y＝f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是()A．4B．2C．1D．0解析：选D.因为f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实根之和为0.(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________．(2)若已知函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1，1)上的奇函数，且f12＝25，求函数f(x)的解析式．利用函数的奇偶性求参数【解】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝13.又函数f(x)＝13x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.故填13和0.(2)因为f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，所以f(0)＝0，即0＋b1＋02＝0，所以b＝0.又因为f12＝12a1＋14＝25，所以a＝1，所以f(x)＝x1＋x2.利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解．1．若f(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数，且函数y＝f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为()A．±1B．－1C．1D．0解析：选C.因为f(x)＝(ax＋1)(x－a)＝ax2＋(1－a2)x－a为偶函数，所以1－a2＝0.所以a＝±1.当a＝1时，f(x)＝x2－1，在(0，＋∞)上单调递增，满足条件；当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1，在(0，＋∞)上单调递减，不满足．2．已知函数f(x)＝－x2＋x，x0，ax2＋x，x0是奇函数，则a＝________．解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1.答案：11．下列函数是偶函数的是()A．y＝xB．y＝2x2－3C．y＝xD．y＝x2，x∈(－1，1]解析：选B.对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＝－f(x)，是奇函数；对于B，定义域为R，满足f(x)＝f(－x)，是偶函数；对于C和D，定义域不关于原点对称，则不是偶函数．2．函数f(x)＝1x－x的图象关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称解析：选C.函数f(x)＝1x－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．3．已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝________．解析：当x＞0时，f(x)＝x2＋1x，所以f(1)＝1＋1＝2.又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－2.答案：－24．根据题中函数的奇偶性及所给部分图象，作出函数在y轴另一侧的图象，并解决问题：(1)如图①是奇函数y＝f(x)的部分图象，求f(－4)·f(－2)；(2)如图②是偶函数y＝f(x)的部分图象，比较f(1)与f(3)的大小．解：(1)作出函数在y轴另一侧的图象，如图所示，观察图象可知f(－4)＝－f(4)＝－2，f(－2)＝－f(2)＝－1，所以f(－4)·f(－2)＝(－2)×(－1)＝2.(2)作出函数在y轴另一侧的图象，如图所示．观察图象可知f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，f(－1)f(－3)，所以f(1)f(3)．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放