2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数概念与性质 3.2.1 单调性与最大（小）值 第一

第一课时函数的单调性3.2函数的基本性质(一)教材梳理填空一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是．x1＜x2f(x1)＜f(x2)增函数(2)如果∀x1，x2∈D，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是．(3)如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的．x1＜x2f(x1)＞f(x2)减函数单调区间(二)基本知能小试1．判断正误(1)所有函数在定义域上都具有单调性．()(2)因为f(－1)＜f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上是增函数．()(3)若f(x)为R上的减函数，则f(0)＞f(1)．()(4)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是()A．[－4,4]B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4]解析：由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C.答案：C3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是()A．y＝－1xB．y＝xC．y＝x2D．y＝1－x解析：选项A、B、C中的函数在(0，＋∞)上都是增函数，选项D满足条件．答案：D4．函数y＝(x＋4)2的递减区间是()A．(－∞，－4)B．(－4，＋∞)C．(4，＋∞)D．(－∞，4)解析：作出函数y＝(x＋4)2的图象，由图象知，y＝(x＋4)2的递减区间是(－∞，－4)．答案：A题型一用定义法证明(判断)函数的单调性[学透用活]单调性的两个特性(1)“整体”性：单调函数在同一个单调区间上具有的性质是相同的．(2)“局部”性：指的是一个函数在定义域不同区间内单调性可以不同；即使相同，单调区间与定义域也不一定相同．[典例1]已知函数f(x)＝1x2－1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．[解](1)由x2－1≠0得x≠±1，故函数f(x)＝1x2－1的定义域为{x|x≠±1}．(2)函数f(x)在(1，＋∞)上为减函数，理由如下：∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝1x21－1－1x22－1＝x22－1－x21－1x21－1x22－1＝x2－x1x2＋x1x21－1x22－1.因为x21－1＞0，x22－1＞0，x2＋x1＞0，x2－x1＞0，所以f(x1)＞f(x2)，故函数f(x)在(1，＋∞)上为减函数．[方法技巧]利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2.(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号．(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性．[提醒]作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式．[对点练清]1．[函数单调性的判断]下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是()A．y＝2x＋1B．y＝x2＋1C．y＝3－xD．y＝x2＋2x＋1解析：函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数．答案：C2．[函数单调性的证明]利用单调性的定义，证明函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．证明：∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋2x1＋1－x2＋2x2＋1＝x2－x1x1＋1x2＋1.因为－1＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以x2－x1x1＋1x2＋1＞0，即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．所以y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．题型二求函数的单调区间[学透用活][典例2]已知f(x)＝x2＋4x＋3，－3≤x＜0，－3x＋3，0≤x＜1，－x2＋6x－5，1≤x≤6.(1)画出这个函数的图象；(2)求函数的单调区间．[解](1)作出函数f(x)＝x2＋4x＋3，－3≤x＜0，－3x＋3，0≤x＜1，－x2＋6x－5，1≤x≤6的图象如下：(2)由f(x)的图象可得，单调递减区间为[－3，－2)，[0,1)，[3,6]；单调递增区间为[－2,0)，[1,3)．[方法技巧]图象法求函数单调区间的步骤(1)作图：作出函数的图象．(2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间．[提醒]当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接．[对点练清]1．[由图象判断函数的单调区间]如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是__________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．答案：[－1.5,3]和[5,6]2．[图象法求函数的单调区间]求f(x)＝|x2－2x－3|的单调区间．解：作出函数f(x)＝x2－2x－3，x＜－1或x＞3，－x2－2x－3，－1≤x≤3的图象，如图所示．所以f(x)＝|x2－2x－3|的单调递减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．3．[定义法求函数的单调区间]求函数f(x)＝1x－1的单调递减区间．解：函数f(x)＝1x－1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，设∀x1，x2∈(－∞，1)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝1x1－1－1x2－1＝x2－x1x1－1x2－1.因为x1x21，所以x2－x10，x1－10，x2－10，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减．同理：函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．题型三函数单调性的应用[学透用活][典例3](1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．[解析]f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]．①由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]．②由题意得－a－1＝3，a＝－4.[答案]①(－∞，－4]②－4(2)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[1,2]上不单调，则实数a的取值范围为________．[解析]函数f(x)的对称轴方程为x＝－a2，要使函数f(x)在区间[1,2]上不单调，则1＜－a2＜2，解得－4＜a＜－2.[答案](－4，－2)[方法技巧](1)区间D是函数f(x)的定义域的子集，x1，x2是区间D中的任意两个自变量，且x1＜x2，①f(x)在区间D上单调递增，则x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)．②f(x)在区间D上单调递减，则x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)．(2)有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程如下：[对点练清]1．[函数值大小比较]若f(x)在R上是减函数，则f(－1)与f(a2＋1)之间有()A．f(－1)≥f(a2＋1)B．f(－1)＞f(a2＋1)C．f(－1)≤f(a2＋1)D．f(－1)＜f(a2＋1)解析：∵f(x)在R上是减函数，∴对任意x1，x2，若x1＜x2，均有f(x1)＞f(x2)．又∵－1＜a2＋1，∴f(－1)＞f(a2＋1)．答案：B2．[利用单调性解不等式]若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)f(－2x＋8)的解集是________．解析：依题意，得不等式组x≥0，－2x＋8≥0，x－2x＋8，解得83x≤4.答案：83，43．[由函数的单调性求参数的取值范围]已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；解：证明：当a＝－2时，f(x)＝xx＋2.任取x1，x2∈(－∞，－2)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2x1－x2x1＋2x2＋2.因为x1，x2∈(－∞，－2)，且x1＜x2，所以(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．解：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝ax2－x1x1－ax2－a.因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f(x1)－f(x2)＞0，所以(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1，所以0＜a≤1，所以a的取值范围为(0,1]．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．函数f(x)＝x＋1，x≥0，x－1，x＜0在R上()A．是减函数B．是增函数C．先减后增D．先增后减解析：画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数．答案：B2．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是()A．(－∞，0]，(－∞，1]B．(－∞，0]，(1，＋∞)C．[0，＋∞)，(－∞，1]D．[0，＋∞)，[1，＋∞)解析：分别作出f(x)与g(x)的图象(图略)得：f(x)在[0，＋∞)上递增，g(x)在(－∞，1]上递增，选C.答案：C3．已知函数f(x)是(0，＋∞)上的减函数，则f(a2－a＋1)与f34的大小关系是________________．解析：∵a2－a＋1＝a－122＋34≥34＞0，又∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，∴f(a2－a＋1)≤f34.答案：f(a2－a＋1)≤f344．已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．解析：∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的单调递减区间是(－∞，1－a]．又∵函数f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴1－a≥4，即a≤－3.∴所求实数a的取值范围是(－∞，－3]．答案：(－∞，－3]二、创新应用题5．判断并证明函数f(x)＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解：函数f(x)＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝－1x1＋1－－1x2＋1＝x1－x2x1x2，由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x20，又由x1x2，得x1－x20，于是f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴f(x)＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．