2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数概念与性质 3.1.2 函数的表示法 第二课时 分

第二课时分段函数(一)教材梳理填空如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的，称这样的函数为分段函数．(二)基本知能小试1．判断正误(1)分段函数由几个函数构成．()(2)分段函数有多个定义域．()(3)函数f(x)＝x＋1，x≤1，－x＋3，x＞0是分段函数．()(4)函数f(x)＝|x|可以用分段函数表示．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√对应关系2．f(x)＝|x－1|的图象是()解析：∵f(x)＝|x－1|＝x－1，x≥1，1－x，x＜1，当x＝1时，f(1)＝0，可排除A、C.又x＝－1时，f(－1)＝2，排除D.答案：B3．函数y＝x2，x＞0，－2，x＜0的定义域为____________，值域为____________．答案：(－∞，0)∪(0，＋∞){－2}∪(0，＋∞)4．函数f(x)＝x＋1，x≤1，－x＋3，x＞1，则f(f(4))＝________.解析：∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0，∴f(f(4))＝f(－1)＝0.答案：0题型一分段函数的定义域、值域[学透用活](1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数．分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏．(3)求分段函数的值域，是分别求出各段上的值域后取并集．[典例1](1)已知函数f(x)＝|x|x，则其定义域为()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(0，＋∞)[解析]要使f(x)有意义，需x≠0，故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．[答案]D(2)函数f(x)＝－x2＋1，0＜x＜1，0，x＝0，x2－1，－1＜x＜0的定义域为________，值域为________．[解析]由已知定义域为{x|0＜x＜1}∪{0}∪{x|－1＜x＜0}＝{x|－1＜x＜1}，即(－1,1)．又0＜x＜1时，0＜－x2＋1＜1，－1＜x＜0时，－1＜x2－1＜0，x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1,0)∪{0}∪(0,1)＝(－1,1)．[答案](－1,1)(－1,1)[方法技巧]求分段函数定义域、值域的策略(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集；(3)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．[对点练清]1．函数f(x)＝2x2，0≤x≤1，2，1＜x＜2，3，x≥2的值域是()A．RB．[0，＋∞)C．[0,3]D．[0,2]∪{3}解析：当x∈[0,1]时，f(x)＝2x2∈[0,2]，所以函数f(x)的值域为[0,2]∪{2,3}＝[0,2]∪{3}．答案：D2．已知函数f(x)＝x2，－1≤x≤1，1，x＞1或x＜－1，求函数f(x)的定义域和值域．解：由已知定义域为[－1,1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R.又x∈[－1,1]时，x2∈[0,1]，故函数的值域为[0,1]．题型二分段函数求值问题[学透用活][典例2]已知函数f(x)＝x＋1，x≤－2，x2＋2x，－2x2，2x－1，x≥2.(1)求f(－5)，f(－3)，ff－52的值；[解]由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－23.∵f－52＝－52＋1＝－32，且－2－322，∴ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.(2)若f(a)＝3，求实数a的值．[解]当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2－2，不合题意，舍去；当－2a2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.∴(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意；当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.[方法技巧]1．求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入到不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．[对点练清]1．[求函数值]已知函数f(x)＝x＋1x－2，x2，x2＋2，x≤2，则f(f(1))＝()A．－12B．2C．4D．11解析：由函数的解析式可得，f(1)＝12＋2＝3，则f(f(1))＝f(3)＝3＋13－2＝4.答案：C2．[求自变量的值]函数f(x)＝x2＋2，x≤2，45x，x2.若f(x0)＝8，则x0＝________.解析：当x0≤2时，f(x0)＝x20＋2＝8，即x20＝6，∴x0＝－6或x0＝6(舍去)；当x02时，f(x0)＝45x0＝8，∴x0＝10.综上可知，x0＝－6或x0＝10.答案：－6或103．[分段函数与不等式]函数f(x)＝x，x≤－2，x＋1，－2＜x＜4，3x，x≥4，若f(a)＜－3，求a的取值范围．解：当a≤－2时，f(a)＝a＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2＜a＜4时，f(a)＝a＋1＜－3，此时不等式无解；当a≥4时，f(a)＝3a＜－3，此时不等式无解．故a的取值范围是(－∞，－3)．题型三分段函数的图象及应用[学透用活][典例3]如图，底角∠ABE＝45°的直角梯形ABCD，底边BC长为4cm，腰长AB为22cm，当一条垂直于底边BC的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BE＝x，试写出阴影部分的面积y与x的函数关系式，并画出函数大致图象．[解]根据题意得，当直线l从点B移动到点A时，0x≤2，y＝12x2；当直线l从点A移动到点D时，2x≤4，y＝12×2×2＋(x－2)·2，即y＝2x－2.所以阴影部分的面积y与x的函数关系式为y＝12x2，x∈0，2]，2x－2，x∈2，4]，函数图象如图所示．[方法技巧]分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．[对点练清]1．[分段函数图象的识别]已知函数f(x)＝x＋1，x∈[－1，0]，x2＋1，x∈0，1]，则函数f(x)的图象是()解析：当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1,0)，D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0,1)，C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1,2)，B错．故选A.答案：A2．[由函数的图象确定其解析式]已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________．解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则－a＋b＝0，b＝1.∴a＝1，b＝1.当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1.∴f(x)＝x＋1，－1≤x0，－x，0≤x≤1.答案：f(x)＝x＋1，－1≤x0，－x，0≤x≤13．[利用函数图象确定值域]设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________．解析：当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；当0≤x＜1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；当x＜0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.故y＝－x－2，x≥1，－5x＋2，0≤x＜1，x＋2，x＜0.根据函数解析式作出函数图象，如图所示．由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}．答案：{y|y≤2}[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．下列给出的函数是分段函数的是()①f(x)＝x2＋1，1x≤5，2x，x≤1，②f(x)＝x＋1，x∈R，x2，x≥2，③f(x)＝2x＋3，1≤x≤5，x2，x≤1，④f(x)＝x2＋3，x＜0，x－1，x≥5.A．①②B．①④C．②④D．③④解析：对于②：取x＝2，f(2)＝3或4，对于③：取x＝1，f(1)＝5或1，所以②③都不合题意．答案：B2．设x∈R，定义符号函数sgnx＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，则函数f(x)＝|x|sgnx的图象大致是()解析：由题意知f(x)＝x，x0，0，x＝0，x，x0，则f(x)的图象为C中图象所示．答案：C3．设函数f(x)＝x2＋1，x≤1，2x，x1，则f(f(3))＝________.解析：由题意知f(3)＝23，则f(f(3))＝f23＝232＋1＝139.答案：1394．已知函数f(x)＝3x，x≥0，x－1，x0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．解析：∵f(a)＋f(1)＝0，且f(1)＝3，∴f(a)＝－3.当a≥0时，由f(a)＝3a＝－3，得a＝－1，不符合题意，舍去；当a0时，由f(a)＝a－1＝－3，得a＝－2.答案：－2二、创新应用题5．如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)．(1)求f(f(0))的值；(2)求函数f(x)的解析式．解：(1)直接由图中观察，可得f(f(0))＝f(4)＝2.(2)设线段AB所对应的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将x＝0，y＝4与x＝2，y＝0代入，得4＝b，0＝2k＋b.∴b＝4，k＝－2.∴y＝－2x＋4(0≤x≤2)．同理，线段BC所对应的函数解析式为y＝x－2(2x≤6)．∴f(x)＝－2x＋4，0≤x≤2，x－2，2x≤6.