最新课程标准:借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义.知识点一定义域为I的函数f(x)的单调性状元随笔定义中的x1,x2有以下3个特征(1)任意性,即“任意取x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;(2)有大小,通常规定x1x2;(3)属于同一个单调区间.知识点二单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)__________,区间D叫做y=f(x)的__________.单调性单调区间状元随笔一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用“和”连接.如函数y=1x在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,却不能表述为:函数y=1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减.[教材解难]1.教材P77思考f(x)=|x|在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增;f(x)=-x2在(-∞,0]上单调递增,在[0,+∞)上单调递减.2.教材P77思考(1)不能例如反比例函数f(x)=-1x,在(-∞,0),(0,+∞)上是单调递增的,在整个定义域上不是单调递增的.(2)函数f(x)=x在(-∞,+∞)上是单调递增的.f(x)=x2在(-∞,0]上是单调递减,在[0,+∞)上是单调递增的.[基础自测]1.下列说法中正确的有()①若x1,x2∈I,当x1x2时,f(x1)f(x2),则y=f(x)在I上是增函数;②函数y=x2在R上是增函数;③函数y=-1x在定义域上是增函数;④y=1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).A.0个B.1个C.2个D.3个解析:由于①中的x1,x2不是任意的,因此①不正确;②③④显然不正确.答案:A2.函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则()A.m12B.m12C.m-12D.m-12解析:使y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则2m-10,即m12.答案:B3.函数y=-2x2+3x的单调减区间是()A.[0,+∞)B.(-∞,0)C.-∞,34D.34,+∞解析:借助图象得y=-2x2+3x的单调减区间是34,+∞,故选D.答案:D4.若f(x)在R上是增函数,且f(x1)f(x2),则x1,x2的大小关系为________.解析:∵f(x)在R上是增函数,且f(x1)f(x2),∴x1x2.答案:x1x2题型一利用函数图象求单调区间[经典例题]例1已知函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的减区间为()A.(-3,1)∪(1,4)B.(-5,-3)∪(-1,1)C.(-3,-1),(1,4)D.(-5,-3),(-1,1)【解析】在某个区间上,若函数y=f(x)的图象是上升的,则该区间为增区间,若是下降的,则该区间为减区间,故该函数的减区间为(-3,-1),(1,4).【答案】C观察图象,若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数,对应的区间是增(减)区间.跟踪训练1函数f(x)的图象如图所示,则()A.函数f(x)在[-1,2]上是增函数B.函数f(x)在[-1,2]上是减函数C.函数f(x)在[-1,4]上是减函数D.函数f(x)在[2,4]上是增函数解析:函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数,图象下降对应减函数,故选A.答案:A根据图象上升或下降趋势判断.题型二函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2根据定义证明函数y=x+1x在区间(1,+∞)上单调递增.【证明】∀x1,x2∈(1,+∞),且x1x2,有y1-y2=x1+1x1-x2+1x2=(x1-x2)+1x1-1x2=(x1-x2)+x2-x1x1x2=x1-x2x1x2(x1x2-1).由x1,x2∈(1,+∞),得x11,x21.所以x1x21,x1x2-10.又由x1x2,得x1-x20.于是x1-x2x1x2(x1x2-1)0,即y1y2.所以,函数y=x+1x在区间(1,+∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x1,x2∈(1,+∞),且x1x2,再判断f(x1)-f(x2)的符号.教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注:作差变形是解题关键.跟踪训练2利用单调性的定义,证明函数y=x+2x+1在(-1,+∞)上是减函数.证明:设x1,x2是区间(-1,+∞)上任意两个实数且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1+2x1+1-x2+2x2+1=x2-x1x1+1x2+1,∵-1x1x2,∴x2-x10,x1+10,x2+10.∴x2-x1x1+1x2+10.即f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2).∴y=x+2x+1在(-1,+∞)上是减函数.利用四步证明函数的单调性.题型三由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围.【解析】∵f(x)=x2-2(1-a)x+2=[x-(1-a)]2+2-(1-a)2,∴f(x)的减区间是(-∞,1-a].∵f(x)在(-∞,4]上是减函数,∴对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合.∴1-a≥4,解得a≤-3.故a的取值范围为(-∞,-3].状元随笔首先求出f(x)的单调减区间,求出f(x)的对称轴为x=1-a,利用对称轴应在直线x=4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念,说函数的单调递减区间是I,指的是函数递减的最大范围为区间I,而函数在某一区间上单调,则指此区间是相应单调区间的子区间.所以我们在解决函数的单调性问题时,一定要仔细读题,明确条件含义.跟踪训练3例3中,若将“函数在区间(-∞,4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(-∞,4]”,则a为何值?解析:由例3知函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a],∴1-a=4,a=-3.求出函数的减区间,用端点值相等求出a.