2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.1.1.2 函数概念的应用课件

函数的概念与性质第三章3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念第2课时函数概念的应用课前自主预习1．理解两个函数为同一函数的概念．2．会求一些简单函数的定义域、值域．1．常见函数的定义域和值域2.函数的三要素由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：、和3．相同函数值域是由和决定的，如果两个函数的定义域和相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们相同的函数．定义域对应关系值域．定义域对应关系对应关系不是1．已知函数f(x)＝x2－1.(1)函数f(x)的定义域是什么？(2)函数f(x)的值域是什么？[答案](1)(－∞，－1]∪[1，＋∞)(2)[0，＋∞)2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．()(2)两个函数相同指定义域和值域相同的函数．()(3)f(x)＝3x＋4与f(t)＝3t＋4是相同的函数．()(4)函数值域中每一个数在定义域中有唯一的数与之对应．()(5)函数f(2x－1)的定义域指2x－1的取值范围．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×(5)×课堂互动探究题型一同一函数的判断【典例1】下列各组式子是否表示同一函数？为什么？(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2；(2)y＝x2，y＝(x)2；(3)y＝1＋x·1－x，u＝1－v2；(4)y＝3－x2，y＝x－3.[思路导引]两个函数表示同一函数的关键条件是定义域相同，对应关系一致．[解](1)f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝t2＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一函数．(2)y＝x2的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝x2与y＝(x)2不是同一函数．(3)y＝1＋x·1－x的定义域为{x|－1≤x≤1}，u＝1－v2的定义域为{v|－1≤v≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝1＋x·1－x＝1－x2，∴两函数的对应关系也相同．故y＝1＋x·1－x与u＝1－v2是同一函数．(4)∵y＝3－x2＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝3－x2与y＝x－3不是同一函数．判断两个函数为同一函数的方法判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．[针对训练]1．与函数y＝x－1为同一函数的是()A．y＝x2－xxB．m＝(n－1)2C．y＝x－x0D．y＝3t－13[解析]A中的x不能取0；B中的n≥1；C中的x不能取0；D化简以后为y＝t－1.故选D.[答案]D2．下列各组函数中是同一函数的是()A．y＝x＋1与y＝x2－1x－1B．y＝x2＋1与s＝t2＋1C．y＝2x与y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2与y＝x2[解析]对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数．[答案]B题型二求函数值和值域【典例2】(1)已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．①求f(2)、g(2)的值；②求f[g(3)]的值．(2)求下列函数的值域：①y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；③y＝2x＋1x－3；④y＝2x－x－1.[思路导引](1)代入法求值；(2)结合解析式的特征选择适当的方法求值域．[解](1)①∵f(x)＝11＋x，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.②g(3)＝32＋2＝11，∴f[g(3)]＝f(11)＝11＋11＝112.(2)①(观察法)∵x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y＝2x＋1x－3＝2x－3＋7x－3＝2＋7x－3，显然7x－3≠0，∴y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．④(换元法)设x－1＝t，则t≥0，且x＝t2＋1.∴y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝2t－142＋158.∵t≥0，∴y≥158.故函数的值域为158，＋∞.(1)函数求值的方法①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．②求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则．(2)求函数值域常用的4种方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋cx＋d(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．[针对训练]3．设函数f(x)＝41－x，若f(a)＝2，则实数a＝________.[解析]由f(a)＝41－a＝2，得a＝－1.[答案]－14．求下列函数的值域：(1)y＝x－1；(2)y＝5x－14x＋2；(3)y＝x＋2x－1.[解](1)(观察法)∵x≥0，∴x－1≥－1.∴y＝x－1的值域为[－1，＋∞)．(2)(分离常数法)y＝5x－14x＋2＝544x＋2－1－524x＋2＝544x＋2－724x＋2＝54－724x＋2.∵724x＋2≠0，∴y≠54.∴函数的值域为y|y≠54.(3)(换元法)设u＝2x－1x≥12，则x＝1＋u22(u≥0)，∴y＝1＋u22＋u＝u＋122(u≥0)由u≥0知(u＋1)2≥1，∴y≥12.∴函数y＝x＋2x－1的值域为12，＋∞.题型三求抽象函数的定义域【典例3】已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求函数f(2x＋1)的定义域．[思路导引]定义域是x的取值范围，f(x)中的x与f(2x＋1)中的2x＋1是相对应的．[解]因为函数f(x)的定义域为[1,3]，即x∈[1,3]，函数f(2x＋1)中2x＋1的范围与函数f(x)中x的范围相同，所以2x＋1∈[1,3]，所以x∈[0,1]，即函数f(2x＋1)的定义域是[0,1]．[变式](1)若将本例条件改为“函数f(2x＋1)的定义域为[1,3]”，求函数f(x)的定义域．(2)若将本例条件改为“函数f(1－x)的定义域为[1,3]”，其他不变，如何求解？[解](1)因为x∈[1,3]，所以2x＋1∈[3,7]，即函数f(x)的定义域是[3,7]．(2)因为函数f(1－x)的定义域为[1,3]，所以x∈[1,3]，所以1－x∈[－2,0]，所以函数f(x)的定义域为[－2,0]．由2x＋1∈[－2,0]，得x∈－32，－12，所以f(2x＋1)的定义域为－32，－12.两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值集合即为f[g(x)]的定义域．(2)已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域：若f[g(x)]的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域．[针对训练]5．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋fx＋23的定义域为________．[解析]由0≤2x≤1，0≤x＋23≤1，得0≤x≤13，所以函数f(2x)＋fx＋23的定义域为0，13.[答案]0，136．若函数f(x2－1)的定义域为[－3，－1]，则f(x)的定义域为________．[解析]由x∈[－3，－1]，得x2－1∈[0,8]，所以f(x)的定义域为[0,8]．[答案][0,8]课堂归纳小结1．对同一函数的概念的理解(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系．函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．2．求函数值域的常用方法有：观察法、配方法、分离常数法、换元法.