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函数的概念与性质第三章3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念第1课时函数的概念课前自主预习1．理解函数的概念．2．了解构成函数的三要素．3．能正确使用函数、区间符号．1．函数的概念(1)函数的定义设A，B是，如果对于集合A中的，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作.非空的实数集任意一个数x唯一确定的数yy＝f(x)，x∈A(2)函数的定义域与值域函数y＝f(x)中，x叫做，叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的(3)对应关系f：除解析式、图象表格外，还有其他表示的方法，引进符号统一表示对应关系．自变量x的取值范围A函数值{f(x)|x∈A}子集．对应关系f温馨提示：(1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．2．区间概念(a，b为实数，且ab)3.其他区间的表示1．某物体从高度为44.1m的空中自由下落，物体下落的距离s与所用时间t的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为s＝12gt2，其中g＝9.8m/s2.(1)时间t和物体下落的距离s有何限制？(2)时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？(3)下落后的某一时刻，能同时对应两个距离吗？[答案](1)0≤t≤3,0≤s≤44.1(2)确定(3)不能2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．()(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．()(3)根据函数的定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.()(4)函数的定义域和值域一定是无限集合．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×课堂互动探究题型一函数关系的判断【典例1】(1)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(2)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是()[思路导引]在“非空数集”A中“任取x”，在对应关系“f”作用下，B中“有唯一”的“数f(x)”与之“对应”，称f：A→B为集合A到集合B的一个函数．[解析](1)①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．(2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．[答案](1)见解析(2)C(1)判断对应关系是否为函数的2个条件①A、B必须是非空数集．②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．(2)根据图形判断对应是否为函数的方法①任取一条垂直于x轴的直线l.②在定义域内平行移动直线l.③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．[针对训练]1．若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从M到N的函数f：M→N的是()[解析]A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈M，但N中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．[答案]D2．下列对应为从集合A到集合B的一个函数的是______．(填序号)①A＝R，B＝{x|x0}，f：x→y＝|x|；②A＝Z，B＝N*，f：x→y＝x2；③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.[解析]①中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，②中同样是集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，对于③，集合A中负整数没有意义．[答案]④题型二用区间表示数集【典例2】把下列数集用区间表示，并在数轴上表示出来．(1){x|x≥3}；(2){x|x－5}；(3){x|－4≤x2或3x≤5}．[思路导引]用区间表示数集的关键是确定开、闭区间，含“或”的数集用符号“∪”连接区间．[解](1){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如图．(2){x|x－5}用区间表示为(－∞，－5)，用数轴表示如图．(3){x|－4≤x2或3x≤5}用区间表示为[－4,2)∪(3,5]，用数轴表示如图．应用区间时的3个注意点(1)区间是数集，区间的左端点小于右端点．(2)在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．(3)用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．[针对训练]3．已知全集U＝R，A＝{x|－1x≤5}，则∁UA用区间表示为__________________．[解析]∁UA＝{x|x≤－1或x5}＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)．[答案](－∞，－1]∪(5，＋∞)4．用区间表示不等式{x|x2－x－6≥0}的解集为______________________．[解析]不等式x2－x－6＝(x－3)(x＋2)≥0，解得x≥3或x≤－2，所以不等式的解集为{x|x≤－2或x≥3}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)．[答案](－∞，－2]∪[3，＋∞)题型三求函数的定义域【典例3】求下列函数的定义域．(1)y＝2＋3x－2；(2)y＝(x－1)0＋2x＋1；(3)y＝3－x·x－1；(4)y＝x＋12x＋1－－x2－x＋6.[思路导引]函数定义域即是使自变量x有意义的取值范围．[解](1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋3x－2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)函数有意义，当且仅当x－1≠0，2x＋1≥0，x＋1≠0，解得x－1，且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x－1且x≠1}．(3)函数有意义，当且仅当3－x≥0，x－1≥0，解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x＋1≠0，－x2－x＋6≥0，即x≠－1，x2＋x－6≤0，即x≠－1，x＋3x－2≤0，解得－3≤x≤2且x≠－1，即函数定义域为{x|－3≤x≤2且x≠－1}．[变式](1)将本例(3)中“y＝3－x·x－1”改为“y＝3－xx－1”，则其定义域是什么？(2)将本例(3)中“y＝3－x·x－1”改为“y＝3－xx－1”，则其定义域是什么？[解](1)要使函数有意义，只需(3－x)(x－1)≥0，解得1≤x≤3，即定义域为{x|1≤x≤3}．(2)要使函数有意义，则3－x≥0，x－10，解得1x≤3，即定义域为{x|1x≤3}．求函数定义域的几种类型(1)若f(x)是整式，则函数的定义域是R.(2)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．(3)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．[针对训练]5．求下列函数的定义域：(1)y＝x2－2x－3；(2)y＝1|x|－x；(3)y＝10－x2|x|－3.[解](1)要使函数有意义，需x2－2x－3≥0，即(x－3)(x＋1)≥0，所以x≥3或x≤－1，即函数的定义域为{x|x≥3或x≤－1}．(2)要使函数有意义，则|x|－x≠0，即|x|≠x，得x0，所以函数的定义域为(－∞，0)．(3)要使函数有意义，则10－x2≥0，|x|－3≠0，解得－10≤x≤10，且x≠±3，即定义域为{x|－10≤x≤10，且x≠±3}．课堂归纳小结1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一旦确定，值域随之确定．2．定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x的集合．3．对区间的几点认识(1)区间是集合，是数集，区间的左端点必须小于右端点．(2)用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．(3)在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．(4)“∞”是一个符号，不是一个数，它表示数的变化趋势.