2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.3 函数的奇偶

课后课时精练2一、选择题1．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的为()A．y＝x＋1B．y＝－x2C．y＝－1xD．y＝3x答案D答案3解析A中，由函数y＝x＋1的图像知该函数不是奇函数．B中，函数y＝－x2是偶函数．C中，函数y＝－1x在其定义域内没有单调性．D中，函数y＝3x是奇函数，且在其定义域内是增函数，符合题意．故选D.解析42．已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，g(x)＝－x2－mx在(－∞，0)内单调递增，则实数m＝()A．－2B．±2C．0D．2答案A解析由函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，得m2－4＝0.解得m＝±2.又当m＝2时，g(x)＝－x2－2x，该函数在(－∞，0)内不单调递增，故m≠2.当m＝－2时，g(x)＝－x2＋2x，该函数在(－∞，0)内单调递增．故选A.答案解析53．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上是()A．增函数且最小值为－5B．增函数且最大值为－5C．减函数且最小值为－5D．减函数且最大值为－5答案C答案6解析∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，且f(7)为最小值．又已知f(－7)＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5.故选C.解析74．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是()A．f－32f(－1)f(2)B．f(－1)f－32f(2)C．f(2)f(－1)f－32D．f(2)f－32f(－1)答案D答案8解析因为f(x)为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，又－2－32－1，且函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，所以f(－2)f－32f(－1)，即f(2)f－32f(－1)．故选D.解析95．设函数f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋3x)，那么当x∈(－∞，0]时，f(x)等于()A．－x(1＋3x)B．x(1＋3x)C．－x(1－3x)D．x(1－3x)答案D答案10解析当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∴f(－x)＝－x(1＋3－x)＝－x(1－3x)．∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x(1－3x)，又f(0)＝0，∴x∈(－∞，0]时，f(x)＝x(1－3x)．故选D.解析11二、填空题6．设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0,6]时f(x)的图像如图所示，不等式f(x)0的解集用区间表示为________．答案[－6，－3)∪(0,3)答案12解析由f(x)在[0,6]上的图像知，满足f(x)0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图像关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．解析137．已知y＝f(x)是奇函数，当x0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．答案5解析因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5.答案解析148．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)＋f(b)0，则a＋b________0(填“”“”或“＝”)．答案解析f(a)＋f(b)0，∴f(a)－f(b)，∴f(a)f(－b)，f(x)为减函数，∴a－b，∴a＋b0.答案解析159．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x.(1)求f(－1)的值；(2)当x0时，求f(x)的解析式．解(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝1－4×1＝－3.(2)若x0，则－x0，因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x.答案1610．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b.(1)求b值；(2)若f(x)在[0,2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)0，求实数m的取值范围．解(1)因为函数f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，所以f(0)＝0，解得b＝0.(2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数，答案17又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2,2]上是单调递增的，因为f(m)＋f(m－1)0，所以f(m－1)－f(m)＝f(－m)．所以－2≤m－1≤2，－2≤－m≤2，m－1－m.解得12m≤2.故实数m的取值范围为12，2.答案18B级：“四能”提升训练1．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2.若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥2f(x)恒成立，求实数a的取值范围．解由题设知f(x)＝x2x≥0，－x2x0，则2f(x)＝f(2x)，因此，原不等式等价于f(x＋a)≥f(2x)．因为f(x)在R上是增函数，所以x＋a≥2x，即a≥(2－1)x.又x∈[a，a＋2]，所以当x＝a＋2时，(2－1)x取得最大值(2－1)(a＋2)，因此，a≥(2－1)(a＋2)，解得a≥2.故实数a的取值范围是[2，＋∞)．答案192．已知f(x)是定义在R上的函数，对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x0时，f(x)0，f(－1)＝2.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)是R上的减函数；(3)求f(x)在[－2,4]上的最值．解(1)证明：由f(x)的定义域为R，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0.令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，答案20即0＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝－[f(x2)－f(x1)]＝－[f(x2)＋f(－x1)]＝－f(x2－x1)．因为x2－x10，所以f(x2－x1)0.所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以f(x)在R上为减函数．答案21(3)因为f(－1)＝2，所以f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝4.因为f(x)为奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝－4，所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝－8.因为f(x)在[－2,4]上为减函数，所以f(x)max＝f(－2)＝4，f(x)min＝f(4)＝－8.答案本课结束