2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.3 函数的奇偶

3.1.3函数的奇偶性第1课时函数的奇偶性(教师独具内容)了解函数奇偶性的概念和奇偶函数图像的特征.2.会根据函数奇偶性的概念判断和证明函数的奇偶性．教学重点：函数奇偶性的概念，判断函数奇偶性的方法．教学难点：函数奇偶性的判断.课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练【情境导学】(教师独具内容)毕达哥拉斯曾说：“一切平面图形中，最美的是圆形．”那是因为圆在各个方向上都是对称的，是一种极致的美．可以这样说，大自然便是用对称来组织与生成的．如我们人体则更是这种高度对称的代表．请大家再举几个对称的例子(更好地激发学习热情)．由于函数是用来揭示自然界的奥秘的，因此有些函数便天然地具有这种对称性．我们还知道，对称有轴对称和中心对称两种，如果这个对称轴变成了坐标系中的y轴，对称中心变成了原点，那么此时的函数具有哪些性质呢？这些性质是否一样能给我们带来美的享受呢？核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练【知识导学】知识点一函数奇偶性的概念(1)偶函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有，且，则称y＝f(x)为偶函数．(2)奇函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有，且，则称y＝f(x)为奇函数．□01－x∈D□02f(－x)＝f(x)□03－x∈D□04f(－x)＝－f(x)核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练知识点二奇偶函数的图像特征(1)偶函数的图像关于对称；反之，图像关于对称的函数一定是偶函数．(2)奇函数的图像关于对称；反之，图像关于对称的函数一定是奇函数．□01y轴□02y轴□03原点□04原点核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练【新知拓展】理解函数的奇偶性要注意的四点(1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇(或偶)函数．(2)函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称，换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1,2]上却无奇偶性可言．核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练(3)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.(4)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空实数集．核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．()(2)函数f(x)＝x2的图像关于原点对称．()(3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝－f(1)，则函数f(x)一定是奇函数．()(4)函数f(x)＝x3，x∈[－1,1)是奇函数．()答案(1)√(2)×(3)×(4)×答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝______.(2)函数f(x)＝x在定义域R上是________函数(填“奇”或“偶”)．(3)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，若f(2)＝4，则f(－2)＝________.答案(1)0(2)奇(3)4答案课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练核心素养形成核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x4＋2x2；(2)f(x)＝x3＋1x；(3)f(x)＝x2－1＋1－x2；(4)f(x)＝2－|x|；(5)f(x)＝x；(6)f(x)＝x3＋x2.核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练[解](1)因为f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)4＋2(－x)2＝x4＋2x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(2)因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)3＋1－x＝－x3＋1x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)因为f(x)的定义域为{－1,1}，是两个具体数，但它关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)＝x2－1＋1－x2既是奇函数，又是偶函数．答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练(4)因为f(x)的定义域是R，关于原点对称，且f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(5)因为f(x)＝x的定义域是{x|x≥0}，它不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．(6)因为f(x)＝x3＋x2的定义域是R，关于原点对称，f(－x)＝－x3＋x2，所以f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数．答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练金版点睛判断函数奇偶性的方法(1)定义法根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)．③下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练(2)图像法①若f(x)图像关于原点对称，则f(x)是奇函数．②若f(x)图像关于y轴对称，则f(x)是偶函数．③若f(x)图像既关于原点对称，又关于y轴对称，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．④若f(x)的图像既不关于原点对称，又不关于y轴对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数．核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练(3)性质法①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练[跟踪训练1]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)；(2)f(x)＝1x；(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；(4)f(x)＝x－1·x＋1.核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练解(1)因为函数的定义域关于坐标原点不对称，即存在－4∈[－4,4)，而4∉[－4,4)，所以，函数f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)既不是奇函数也不是偶函数．(2)因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于坐标原点对称，且对任意的x(x≠0)有f(－x)＝1－x＝－1x＝－f(x)，所以，函数f(x)＝1x是奇函数．(3)函数的定义域为实数集R，定义域关于坐标原点对称，且对任意的x∈R，都有f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，所以，函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练(4)函数的定义域为[1，＋∞)，由于函数f(x)的定义域不关于坐标原点对称，故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练题型二奇偶函数的图像特征及应用例2(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图像，试作出y轴右侧的图像并求出f(3)的值．(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图像，试作出它在y轴右侧的图像，并比较f(1)与f(3)的大小．核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练[解](1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图像上任一点P(－x，－f(x))关于原点的对称点是P′(x，f(x))．下图为补充后的图像．易知f(3)＝－2.答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图像上任一点P(－x，f(x))关于y轴的对称点是P′(x，f(x))，如图为补充后的图像，易知f(1)f(3)．答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练金版点睛用奇偶函数图像的对称性作图给出奇函数(或偶函数)在直角坐标平面内的某个半平面上的图像，要作出它在另一个半平面内的图像是依据奇、偶函数图像的对称性．其过程是作出原图像上几个关键点(图像的最高点、最低点等)关于原点或y轴的对称点，然后按原图像的特征用平滑曲线连接这些点，就作出了它在另外一个半平面内的图像．核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练[跟踪训练2]奇函数y＝f(x)的局部图像如图，试作出该函数在y轴左侧部分的图像，并根据图像写出y＝f(x)(x∈R)的单调递增区间．核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练解将奇函数y＝f(x)在y轴左侧的图像补充后如图所示．由图像可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)、(－1,0)、(0,1)和(3，＋∞)．答案课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练随堂水平测试核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练1．下列函数为奇函数的是()A．y＝－|x|B．y＝2－xC．y＝1x3D．y＝－x2＋8答案C解析A，D中，函数均为偶函数，B中函数为非奇非偶函数，而C中函数为奇函数．答案解析核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练2．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，下列结论不正确的是()A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)C．f(－x)f(x)≤0D.fxf－x＝－1答案D答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练解析∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝－2f(x)，f(－x)·f(x)＝－[f(x)]2≤0，∴A，B，C正确．而D不一定成立，如f(x)＝x，则fxf－x＝x－x＝－1(x≠0)，即当x＝0时，fxf－x无意义．解析核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练3．已知函数f(x)是奇函数，函数g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A．4B．3C．2D．1答案B解析由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.两式相加，解得g(1)＝3.答案解析核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练4．偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图像如图，则函数f(x)的增区间为________．答案[－1,0]，[1，＋∞)解析偶函数的图像关于y轴对称，补全图像后可知函数f(x)的增区间为[－1,0]，[1，＋∞)．答案解析核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练5．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2)；(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(3)f(x)＝1－x2x.解(1)∵x∈R，关于原点对称，又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练(2)∵x∈R，关于原点对称，又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，又∵f(－x)＝1－－x2－x＝－1－x2x＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．答案本课结束