2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理（第4

第4课时三角形中的几何计算第六章平面向量及其应用考点学习目标核心素养有关三角形面积的计算掌握三角形的面积公式的简单推导和应用逻辑推理、数学运算三角形的综合问题能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题数学运算第六章平面向量及其应用问题导学预习教材P53T10和P54T18两个题目，思考以下问题：如何用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积？三角形的面积公式(1)S＝12a·ha＝12b·hb＝12c·hc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高)．(2)S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.(3)S＝12(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆的半径)．■名师点拨三角形的面积公式S＝12absinC与原来的面积公式S＝12a·h(h为a边上的高)的关系为h＝bsinC，实质上bsinC就是△ABC中a边上的高．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．()(2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．()(3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．()√××在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为()A.12B.32C.3D.23解析：选B.S△ABC＝12AB·ACsinA＝12×1×2×32＝32.已知△ABC的面积为32，且b＝2，c＝3，则A＝()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析：选D.由S△ABC＝12bcsinA＝32，得3sinA＝32，sinA＝32，由0°A180°，知A＝60°或A＝120°.在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积为________．解析：由BCsinA＝ABsinC，知sinC＝1，则C＝90°，所以B＝60°，从而S△ABC＝12AB·BC·sinB＝32.答案：32(1)(2019·湖南娄底重点中学期末)在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积等于()A．9B．18C．93D．183(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知c＝2，C＝π3，且S△ABC＝3，则a＝________，b＝________．与三角形面积有关的计算问题【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理，得ACsinB＝BCsinA，所以AC＝BC·sinBsinA＝6×sin120°sin30°＝63.又因为C＝180°－120°－30°＝30°，所以S△ABC＝12×63×6×12＝93.(2)由余弦定理，得a2＋b2－ab＝4，又△ABC的面积等于3，所以12absinC＝3，得ab＝4，联立方程组a2＋b2－ab＝4ab＝4，解得a＝2，b＝2.【答案】(1)C(2)22三角形面积计算的解题思路对于此类问题，一般用公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为多边形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．1．(2019·黑龙江大庆中学期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于()A．12B．212C．28D．63解析：选D.在△ABC中，由余弦定理可得64＝49＋9－2×7×3cosC，所以cosC＝－17，所以sinC＝437，所以S△ABC＝12absinC＝63，故选D.2．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于()A．3B．53C．63D．73解析：选B.连接BD，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝180°－120°2＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC，知BD2＝22＋22－2×2×2cos120°＝12，所以BD＝23，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12×4×23＋12×2×2×sin120°＝53.3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为3，则边a的值为________．解析：由S△ABC＝12bcsinA＝12csin60°＝3，得c＝4，因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋16－8cos60°＝13，所以a＝13.答案：13已知四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积．三角形中的线段长度和角度的计算【解】(1)连接BD，则由题设及余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC．②由①②得cosC＝12，故C＝60°，BD＝7.(2)四边形ABCD的面积S＝12AB·DAsinA＋12BC·CDsinC＝12×1×2＋12×3×2sin60°＝23.三角形中几何计算问题的解题思路(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．已知四边形ABCD满足∠BAD＝90°，∠BCD＝150°，∠DAC＝60°，AC＝2，AD＝3＋1.求CD的长和△ABC的面积．解：在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos∠CAD＝6，所以CD＝6.在△ACD中，由正弦定理得CDsin∠CAD＝ACsin∠ADC，则sin∠ADC＝22，又0°∠ADC120°，所以∠ADC＝45°，从而有∠ACD＝75°，由∠BCD＝150°，得∠ACB＝75°，又∠BAC＝30°，所以△ABC为等腰三角形，即AB＝AC＝2，故S△ABC＝1.(2019·郑州一中期末检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA＝(2c＋a)cos(π－B)．(1)求角B的大小；(2)若b＝4，△ABC的面积为3，求△ABC的周长．三角形中的综合问题【解】(1)因为bcosA＝(2c＋a)cos(π－B)，所以bcosA＝(2c＋a)(－cosB)．由正弦定理可得，sinBcosA＝(－2sinC－sinA)cosB，即sin(A＋B)＝－2sinCcosB＝sinC.又角C为△ABC的内角，所以sinC0，所以cosB＝－12.又B∈(0，π)，所以B＝2π3.(2)由S△ABC＝12acsinB＝3，得ac＝4.又b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16.所以a＋c＝25，所以△ABC的周长为4＋25.[变条件、变问法]在本例(2)中，去掉条件“△ABC的面积为3”，求(1)△ABC周长的取值范围；(2)△ABC面积的最大值．解：(1)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即b2＝a2＋c2＋ac.又b＝4，所以16＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－a＋c22.所以34(a＋c)2≤16，所以(a＋c)2≤643.即4a＋c≤833.所以8a＋b＋c≤4＋833.(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即b2＝a2＋c2＋ac，又b＝4，所以16＝a2＋c2＋ac≥2ac＋ac＝3ac，即ac≤163.所以S△ABC＝12acsinB≤12×163×32＝433.即△ABC面积的最大值为433.解三角形综合问题的方法(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解．(2)解三角形还常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a.(1)求证：B－C＝π2；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)证明：由bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a及正弦定理，得sinBsinπ4＋C－sinCsinπ4＋B＝sinA，即sinB22sinC＋22cosC－sinC22sinB＋22cosB＝22，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1.由于0B3π4，0C3π4，从而B－C＝π2.(2)因为B＋C＝π－A＝3π4，B－C＝π2，所以B＝5π8，C＝π8.由a＝2，A＝π4，得b＝asinBsinA＝2sin5π8，c＝asinCsinA＝2sinπ8，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝2sin5π8sinπ8＝2cosπ8sinπ8＝12.1．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的长为()A．3B．3C．7D．7解析：选A.因为S△ABC＝12AB·ACsinA，所以12×2·ACsin60°＝32.所以AC＝1.又BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋1－2×2cos60°＝3.所以BC＝3.2．已知△ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.b＝2，∠B＝π6，∠C＝π4，则△ABC的面积为()A．2＋23B．3＋1C．23－2D．3－1解析：选B.由正弦定理，得csinπ4＝2sinπ6，解得c＝22.又∠A＝π－π6－π4＝7π12，则△ABC的面积S＝12bcsin7π12＝3＋1.3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝3，b＝1，C＝120°.(1)求B的大小；(2)求△ABC的面积S.解：(1)由正弦定理bsinB＝csinC，得sinB＝bsinCc＝12，因为在△ABC中，bc且C＝120°，所以B＝30°.(2)因为A＋B＋C＝180°，所以A＝180°－120°－30°＝30°，所以S＝12bcsinA＝34.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放