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6．2.4向量的数量积第六章平面向量及其应用考点学习目标核心素养向量的夹角理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角直观想象、数学运算向量数量积的含义理解平面向量数量积的含义并会计算数学抽象、数学运算投影向量理解a在b上的投影向量的概念数学抽象向量数量积的性质和运算律掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用数学运算、逻辑推理第六章平面向量及其应用问题导学预习教材P17－P22的内容，思考以下问题：1．什么是向量的夹角？2．数量积的定义是什么？3．投影向量的定义是什么？4．向量数量积有哪些性质？5．向量数量积的运算有哪些运算律？1．两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．(2)特例：①当θ＝0时，向量a与b_____；②当θ＝π2时，向量a与b_____，记作a⊥b；③当θ＝π时，向量a与b_____．同向垂直反向■名师点拨按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量CA→与AB→的夹角．作AD→＝CA→，则∠BAD才是向量CA→与AB→的夹角．2．向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量__________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝__________.规定零向量与任一向量的数量积为_____．|a||b|cosθ|a||b|cosθ0■名师点拨(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．3．投影向量如图(1)，设a，b是两个非零向量，AB→＝a，CD→＝b，我们考虑如下变换：过AB→的起点A和终点B，分别作CD→所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1→，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)，A1B1→叫做向量a在向量b上的投影向量．如图(2)，在平面内任取一点O，作OM→＝a，ON→＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1→就是向量a在向量b上的投影向量．(2)若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1→＝|a|cosθe.■名师点拨当θ＝0时，OM1→＝|a|e；当θ＝π2时，OM1→＝0；当θ∈0，π2时，OM1→与b方向相同；当θ∈π2，π时，OM1→与b方向相反；当θ＝π时，OM1→＝－|a|e.4．向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔__________．(3)当a与b同向时，a·b＝_____；当a与b反向时，a·b＝__________．特别地，a·a＝_____或|a|＝a·a.(4)|a·b|_____|a||b|.a·b＝0|a||b|－|a||b||a|2≤■名师点拨对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．5．向量数量积的运算律(1)a·b＝_____(交换律)．(2)(λa)·b＝__________＝__________(结合律)．(3)(a＋b)·c＝__________(分配律)．b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c■名师点拨(1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积仍然是向量．()(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(3)a，b共线⇔a·b＝|a||b|.()(4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.()(5)两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量．()××××√若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝()A．12B．122C．－122D．－12解析：选B.m·n＝|m|·|n|cos45°＝4×6×22＝122.已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·15b＝－36，则a与b的夹角为()A．60°B．120°C．135°D．150°解析：选B.设a与b的夹角为θ.因为(3a)·15b＝－36，所以3×15a·b＝－36，又|a|＝10，|b|＝12，所以3×15×10×12cosθ＝－36，所以cosθ＝－12.又因为θ∈0°，180°，所以θ＝120°.4．已知|a|＝2，|b|＝1，且a－b与a＋2b互相垂直，则a·b＝______．解析：因为a－b与a＋2b互相垂直，所以(a－b)·(a＋2b)＝0，即a2＋a·b－2b2＝0.又因为|a|＝2，|b|＝1，所以a·b＝2b2－a2＝2×12－(2)2＝0，即a·b＝0.答案：0(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．(2)如图，在▱ABCD中，|AB→|＝4，|AD→|＝3，∠DAB＝60°，求：①AD→·BC→；②AB→·DA→.平面向量的数量积运算【解】(1)(a＋2b)·(a＋3b)＝a·a＋5a·b＋6b·b＝|a|2＋5a·b＋6|b|2＝|a|2＋5|a||b|cos60°＋6|b|2＝62＋5×6×4×cos60°＋6×42＝192.(2)①因为AD→∥BC→，且方向相同，所以AD→与BC→的夹角是0°，所以AD→·BC→＝|AD→||BC→|·cos0°＝3×3×1＝9.②因为AB→与AD→的夹角为60°，所以AB→与DA→的夹角为120°，所以AB→·DA→＝|AB→||DA→|·cos120°＝4×3×－12＝－6.[变问法]若本例(2)的条件不变，求AC→·BD→.解：因为AC→＝AB→＋AD→，BD→＝AD→－AB→，所以AC→·BD→＝(AB→＋AD→)·(AD→－AB→)＝AD→2－AB→2＝9－16＝－7.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0解析：选B.a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.2．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD→·CD→＝________．解析：BD→·CD→＝BD→·BA→＝(BA→＋BC→)·BA→＝(BA→)2＋BC→·BA→＝a2＋a2cos60°＝32a2.答案：32a2(1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A．3B．23C．4D．12向量模的有关计算(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝32，a与b的夹角为60°，则|b|＝()A.13B.12C.15D.14【解析】(1)|a＋2b|＝（a＋2b）2＝a2＋4a·b＋4b2＝|a|2＋4|a||b|cos60°＋4|b|2＝4＋4×2×1×12＋4＝23.(2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|·cos60°＝34，即1＋|b|2－|b|＝34，解得|b|＝12.【答案】(1)B(2)B求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．1．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝______，|3a－4b|＝______．解析：由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，所以|a＋b|＝23.因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，所以|3a－4b|＝419.答案：234192．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|a－b|＝1，则|a＋b|＝________．解析：法一：由|a－b|＝1得a2－2a·b＋b2＝1，所以|a|2－2a·b＋|b|2＝1，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝a2＋2a·b＋b2＝1＋1＋1＝3.法二：如图，因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1，所以△AOB是正三角形，∠AOB＝60°，所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝1，所以a·b＝12，所以|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋1＝3，所以|a＋b|＝3.答案：3命题角度一：求两向量的夹角(1)已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为________；(2)(2019·高考全国卷Ⅰ改编)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为______．向量的夹角与垂直【解析】(1)设a与b的夹角为θ，(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cosθ－6|b|2＝62－6×4×cosθ－6×42＝－72，所以24cosθ＝36＋72－96＝12，所以cosθ＝12.又因为θ∈0，π，所以θ＝π3.(2)设a与b的夹角为θ，由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，所以a·b＝b2，所以cosθ＝b2|a||b|.又因为|a|＝2|b|，所以cosθ＝|b|22|b|2＝12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.【答案】(1)π3(2)π3命题角度二：证明两向量垂直已知a，b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋tb)．【证明】因为|a＋tb|＝（a＋tb）2＝a2＋t2b2＋2ta·b＝|b|2t2＋2a·bt＋|a|2，所以当t＝－2a·b2|b|2＝－a·b|b|2时，|a＋tb|有最小值．此时b·(a＋tb)＝b·a＋tb2＝a·b＋－a·b|b|2·|b|2＝a·b－a·b＝0.所以b⊥(a＋tb)．命题角度三：利用夹角和垂直求参数(1)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为()A．－32B．32C．±32D．1(2)已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为π3，则实数λ＝________．【解析】(1)因为3a＋2b与ka－b互相垂直，所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0，所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.因为a⊥b，所以a·b＝0，又|a|＝2，|b|＝3，所以12k－18＝0，k＝32.(2)由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcosπ3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.【答案】(1)B(2)－8或5求向量a与b夹角的思路(1)求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cosθ的值