搜索
最新课程标准：1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加法，减法与数乘运算.3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．第1课时平面向量的坐标及运算知识点一直线上向量的坐标1．对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标．状元随笔值得注意的是，如果直线上向量a→的坐标为x，则x既能刻画a→的模，也能刻画向量a→的方向．事实上，此时|a→|＝|xe→|＝|x||e→|＝|x|；而且：当x0时，a→的方向与e→的方向相同；当x＝0时，a→是零向量；当x0时，a→的方向与e→的方向相反．也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定．2．事实上，设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，则OA→＝x1e，OB→＝x2e，因此AB→＝OB→－OA→＝x2e－x1e＝(x2－x1)e，所以不难看出AB＝|AB→|＝|x2－x1|.这就是数轴上两点之间的距离公式．3．另外，假设M(x)是线段AB的中点，则OM→＝12(OA→＋OB→)＝x1e＋x2e2＝x1＋x22e，又因为OM→＝xe，因此x＝x1＋x22.这就是数轴上的中点坐标公式．知识点二正交分解1．向量垂直平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b.为了方便起见，规定零向量与任意向量都垂直．2．正交分解如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．知识点三平面向量的坐标表示一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．状元随笔1.对平面向量坐标的几点认识(1)设OA→＝xi→＋yj→(O为坐标原点)，则向量OA→的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量OA→的坐标(x，y)．因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．(2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等．(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同．2．符号(x，y)的意义符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)．知识点四平面向量的坐标运算(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝________________，a－b＝_______________，λa＝(λx1，λy1)．(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则AB→＝OB→－OA→＝(x2，y2)－(x1，y1)＝_______________．即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_____的坐标减去_____的坐标．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(x2－x1，y2－y1)终点始点[基础自测]1．数轴上两点，A的坐标为1，B的坐标为－2，AB→的坐标为()A．3B．(3,0)C．－3D．(－3,0)解析：A的坐标为1，B的坐标为－2，则AB→的坐标为－3.答案：C2．已知M(2,3)，N(3,1)，则NM→的坐标是()A．(2，－1)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(1，－2)解析：NM→＝(2－3,3－1)＝(－1,2)．答案：B3．若向量BA→＝(2,3)，CA→＝(4,7)，则BC→＝________.解析：BC→＝BA→＋AC→＝BA→－CA→＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．答案：(－2，－4)题型一直线上向量的运算与坐标表示[教材P159例3]例1设数轴上两点A，B的坐标分别为3，－7，求：(1)向量AB→的坐标，以及A与B的距离；(2)线段AB中点的坐标．【解析】(1)由题意得OA→的坐标为3，OB→的坐标为－7，又因为AB→＝OB→－OA→，所以AB→的坐标为－7－3＝－10，而且AB＝|AB→|＝|－10|＝10.(2)设线段AB中点的坐标为x，则x＝3＋－72＝－2.教材反思数轴上A点坐标x1，B点坐标x2(1)则AB→坐标x2－x1，|AB→|＝|x2－x1|(2)线段AB的中点坐标x1＋x22跟踪训练1数轴上向量a的坐标为－2，b的坐标为3，则a＋2b的坐标为()A．－1B．－8C．4D．1解析：∵b的坐标为3，∴2b的坐标为6，∴a＋2b的坐标为－2＋6＝4.答案：C题型二求向量的坐标[经典例题]例2如图，分别用基底{x，y}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标．【解析】如题图可知，a＝AA1→＋AA2→＝2x＋3y，所以a＝(2,3)．同理，b＝－2i＋3j＝(－2,3)，c＝－2i－3j＝(－2，－3)，d＝2i－3j＝(2，－3).结合坐标系，写出a→、b→、c→、d→的坐标.方法归纳求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．跟踪训练2在直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标．解析：设点A(x，y)，B(x0，y0)，∵|a|＝2，且∠AOx＝45°，∴x＝2cos45°＝2，且y＝2sin45°＝2.又|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°，∴x0＝3cos120°＝－32，y0＝3sin120°＝332.故a＝OA→＝(2，2)，b＝OB→＝－32，332.由于向量a→，b→的起点在坐标原点，因此只需求出终点A，B的坐标．题型三平面向量的坐标运算[经典例题]例3(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝()A.(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)【解析】(1)方法一设C(x，y)，则AC→＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以x＝－4，y＝－2，从而BC→＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.方法二AB→＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，故选A.方法一先求C点坐标，再求BC→.方法二先求AB→，再求BC→.【答案】(1)A(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a,2a＋3b的坐标．【解析】(2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．【答案】(2)见解析方法归纳平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．跟踪训练3(1)已知A、B、C的坐标分别为(2，－4)、(0,6)、(－8,10)，则AB→＋2BC→＝____________，BC→－12AC→＝____________；(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,1)，若用a和b表示c，则c＝____________.解析：(1)∵A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，∴AB→＝(－2,10)，BC→＝(－8,4)，AC→＝(－10,14)，∴AB→＋2BC→＝(－18,18)，BC→－12AC→＝(－3，－3)．(2)设c＝xa＋yb，则(x,2x)＋(－2y,3y)＝(x－2y,2x＋3y)＝(4,1)．故x－2y＝4，2x＋3y＝1，解得x＝2，y＝－1.所以c＝2a－b.答案：(1)(－18,18)(－3，－3)(2)2a－b(1)先求AB→，BC→，AC→坐标，再计算AB→＋2BC→，BC→－12AC→的值．(2)设c→＝xa→＋yb→，建立方程组，求出x，y.题型四向量坐标运算的应用[经典例题]例4已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP→＝OA→＋tAB→.(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．【解析】(1)OP→＝OA→＋tAB→＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－23.若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－13.若点P在第二象限，则1＋3t＜0，2＋3t＞0，所以－23＜t＜－13.(2)OA→＝(1,2)，PB→＝(3－3t,3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，则OA→＝PB→，所以3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．故四边形OABP不能为平行四边形.(1)OP→＝(1＋3t,2＋3t)，利用点在坐标轴及象限的特征求解．(2)若四边形OABP为平行四边形，则有OA→＝PB→.方法归纳向量中含参数问题的求解策略(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．跟踪训练4若保持本例条件不变，B为线段AP的中点，则t＝______.解析：由OP→＝OA→＋tAB→，得AP→＝tAB→.所以当t＝2时，AP→＝2AB→，B为线段AP的中点．答案：2由B是AP的中点，得AP→＝2AB→，求出t的值．