2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量初步 6.2.2 直线上向量的坐标及其运算 6

新课程标准6．2.2&6.2.3直线上向量的坐标及其运算平面向量的坐标及其运算1．借助于平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．2．会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．3．通过学习，提高学生直观想象和数学抽象的核心素养．知识点一直线上向量的坐标及其运算(一)教材梳理填空1．直线上向量的坐标(1)直线上向量的坐标：给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在的实数x，使得________，此时，x称为向量a的坐标．a＝xe唯一(2)直线上的向量完全被其坐标确定：直线l上向量a的坐标为x，此时|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|.结论x0a的方向与e的方向____x＝0a是x0a的方向与e的方向直线上的向量完全被其确定相同零向量相反坐标[微提醒]在谈到数轴时默认为已经指定了与数轴正方向同向的单位向量e.2．直线上向量的运算与坐标的关系(1)直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标．(2)直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的．(3)如果u，v是两个实数，直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2，那么ua＋vb的坐标为，ua－vb的坐标为.相等和ux1＋vx2ux1－vx2(4)数轴上两点间的距离公式与中点坐标公式设A(x1)，B(x2)是数轴上的两点，O为坐标原点，M(x)是线段AB的中点．①距离公式：AB＝|AB―→|＝|x2－x1|.②中点坐标公式：x＝_______.x1＋x22(二)基本知能小试1．数轴上A点的坐标为－5，则向量OA―→的坐标是________．答案：－52．数轴上OA―→＝3e(e为数轴上的单位向量)，则点A的坐标是________．答案：33．直线l上向量a的坐标是5，b的坐标是x，若a＝b，则x＝________.答案：54．已知数轴上向量a的坐标为2，b的坐标为6，则向量2a＋b的坐标是________．答案：10知识点二平面向量的坐标及平面上向量的运算与坐标的关系(一)教材梳理填空1．基本概念(1)平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相，我们就称向量a与b垂直，记作.规定零向量与任意向量都．(2)如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为；在正交基底下向量的分解称为向量的．垂直垂直正交基底正交分解a⊥b2．向量的坐标一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x,y)为向量a的坐标，记作a＝(x,y)．3．平面上向量的运算与坐标的关系设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，u，v是两个实数．(1)平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应_____．(2)a＋b＝；(3)ua＋vb＝，ua－vb＝___________________．(4)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.相等(x1＋x2，y1＋y2)(ux1＋vx2，uy1＋vy2)(ux1－vx2，uy1－vy2)4．平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，该线段的中点M(x，y)，则(1)两点间距离公式：AB＝|AB―→|＝.(2)中点坐标公式：x＝，y＝.x2－x12＋y2－y12x＝x1＋x22y1＋y22(二)基本知能小试1．判断正误：(1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．()(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．()(4)点的坐标与向量的坐标相同．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a＋2b的坐标是()A．(5,3)B．(4,3)C．(8,3)D．(0，－1)答案：C3．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB―→相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x＝________.解析：易得AB―→＝(2,0)，由a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB―→相等得x＋3＝2，x2－3x－4＝0，解得x＝－1.答案：－1知识点三向量平行的坐标表示(一)教材梳理填空设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔.(二)基本知能小试1．判断正误：(1)已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，若a∥b，则必有a1b2＝a2b1.()(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．()x2y1＝x1y2答案：(1)√(2)√2．若向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，则与a＋b共线的向量可以是()A．(2,1)B．(－1,2)C．(6,10)D．(－6,10)答案：C3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，若a∥b，则x等于()A．－12B.12C．－2D．2答案：D题型一直线上向量的坐标及其运算[学透用活][典例1](1)已知e是直线l上的一个单位向量，向量a与b都是直线l上的向量，则向量a＝5e，b＝－4e的坐标分别是________、________.(2)已知A，B，C为数轴上三点，且xA＝－2，xB＝6，试求符合下列条件的点C的坐标．①AC＝10；②|AC―→|＝10；③|AC―→|＝3|BC―→|.[解析](1)由于e的坐标是1，故a＝5e的坐标为5，向量b＝－4e的坐标是－4.答案：5－4(2)①∵AC＝10，∴xC－xA＝10，∴xC＝xA＋10＝8.②∵|AC―→|＝10，∴AC＝10或AC＝－10，当AC＝10时，xC－xA＝10，xC＝xA＋10＝8；当AC＝－10时，xC－xA＝－10，xC＝xA－10＝－12.③∵|AC―→|＝3|BC―→|，∴AC―→＝3BC―→或AC―→＝－3BC―→.当AC―→＝3BC―→时，xC－xA＝3(xC－xB)，∴xC＝12(3xB－xA)＝10；当AC―→＝－3BC―→时，xC－xA＝－3(xC－xB)，∴xC＝14(3xB＋xA)＝4.[方法技巧]1．求直线上向量的坐标的方法(1)将向量用单位向量表示出来；(2)将向量的始点平移到原点，读出终点坐标．2．数轴上向量的坐标及长度计算的方法(1)数轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标；(2)数轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度．[对点练清]已知数轴上A，B两点的坐标分别为x1，x2，求AB―→，BA―→的坐标和长度．(1)x1＝2，x2＝－5.3；(2)x1＝10，x2＝20.5.解：(1)∵x1＝2，x2＝－5.3，∴AB―→的坐标为－5.3－2＝－7.3；BA―→的坐标为2－(－5.3)＝7.3.∴|AB―→|＝7.3，|BA―→|＝7.3.(2)同理：AB―→的坐标为10.5，BA―→的坐标为－10.5.|AB―→|＝10.5，|BA―→|＝10.5.题型二平面向量的坐标表示[学透用活][典例2](1)已知A(3,1)，B(2，－1)，则BA―→的坐标是()A．(－2，－1)B．(2,1)C．(1,2)D．(－1，－2)(2)已知AB―→＝(1,3)，且点A(－2,5)，则点B的坐标为()A．(1,8)B．(－1,8)C．(3,2)D．(－3,2)(3)如图，在正方形ABCD中，O为中心，且OA―→＝(－1，－1)，则OB―→＝________；OC―→＝________；OD―→＝________.[解析](1)BA―→＝OA―→－OB―→＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2)．(2)设点B的坐标为(x，y)，则AB―→＝(x，y)－(－2,5)＝(x＋2，y－5)＝(1,3)，所以x＋2＝1，y－5＝3，解得x＝－1，y＝8，所以点B的坐标为(－1,8)．(3)由题图可知，OC―→＝－OA―→＝－(－1，－1)＝(1,1)，由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以OB―→＝(1，－1)，同理OD―→＝(－1,1)．[答案](1)C(2)B(3)(1，－1)(1,1)(－1,1)[方法技巧]求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．[对点练清]已知点A(2,4)，a＝(3,4)，且AB―→＝2a，则点B的坐标为_____．解析：设B点坐标为(x，y)，则(x－2，y－4)＝2(3,4)＝(6,8)，∴x－2＝6，y－4＝8，解得x＝8，y＝12.所以B点的坐标为(8,12)．答案：(8,12)题型三平面向量的坐标运算[学透用活][典例3](1)已知三点A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，则向量3AB―→＋2CA―→＝________，BC―→－2AB―→＝________.(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．[解析](1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，∴AB―→＝(1,5)，CA―→＝(4，－1)，BC―→＝(－5，－4)．∴3AB―→＋2CA―→＝3(1,5)＋2(4，－1)＝(3＋8,15－2)＝(11,13)．BC―→－2AB―→＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－5－2，－4－10)＝(－7，－14)．(2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．[答案](1)(11,13)(－7，－14)[方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．[对点练清]1．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，MP―→＝12MN―→，则P点坐标为______．解析：法一：设P(x，y)，MP―→＝(x－3，y＋2)，MN―→＝(－8,1)，∴MP―→＝12MN―→＝12(－8,1)＝－4，12，∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.即P点坐标为－1，－32.法二：由MP―→＝12MN―→知，P为MN的中点，由中点坐标公式得P点坐标为－1，－32.答案：－1，－322．[变结论]若本例(2)条件不变，求|a＋b|，|a－b|，|2a＋3b|.解：由本例(2)可知，a＋b＝(2，－3)，a－b＝(－4,7)，2a＋3b＝(7，－11)．所以|a＋b|＝22＋－32＝13，|a－b|＝－42＋72＝65，|2a＋3b|＝72＋－112＝170.题型四向量共线坐标表示的简单应用[学透用活][典例4](1)已知A(1，－3)，B8，12，且A，B，C三点共线，则C的坐标可以是()A．(－9,1)B．(9，－1)C．(9,1)D．(－9，－1)(2)已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量AB―→与CD―→平行吗？直线AB平行于直线CD吗？[解](1)设点C的坐标是(x，y)，因为A，B，C三点共线，所以AB―→∥AC―→.因为AB―→＝8，12－(1，－3)＝7，72，AC―→＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，所以7(y＋3)－72(x－1)＝0，整理得x－2y＝7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C.(2)因为AB―→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，CD―→＝(2－1,7－5)＝(1,2)．又因为2×2－4×1＝0，所以AB―→∥CD―→.又因为AC―→＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2,6)，AB―→＝(2,4