2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量初步 6.1.5 向量的线性运算课件 新人教B

最新课程标准：1.通过实例，掌握平面向量的加、减运算及数乘向量的混合运算.2.掌握向量的线性运算.知识点一数乘向量的运算律(1)λ(μa)＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa(3)λ(a＋b)＝λa＋λb特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)λ(a－b)＝λa－λb知识点二向量的线性运算向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算．状元随笔向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项．[a→－(2b→)]＋(6a→)可以简单地写成a→－2b→＋6a→.[基础自测]1．化简：13122a＋8b－4a－2b＝()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b解析：原式＝13[(a＋4b)－(4a－2b)]＝13(－3a＋6b)＝2b－a，选B.答案：B2．下列式子不能化简为AD→的是()A.MB→＋AD→－BM→B．(AD→＋MB→)＋(BC→＋CM→)C．(AB→＋CD→)＋BC→D.OC→－OA→＋CD→解析：(AD→＋MB→)＋(BC→＋CM→)＝AD→＋(BC→＋CM→＋MB→)＝AD→，(AB→＋CD→)＋BC→＝AB→＋BC→＋CD→＝AD→，OC→－OA→＋CD→＝AC→＋CD→＝AD→，故B、C、D中的式子都能化简为AD→，只有A项，MB→＋AD→－BM→＝2MB→＋AD→，化简结果不是AD→.答案：A3．已知有向线段AB→，CD→不平行，则()A．|AB→＋CD→||AB→|B．|AB→＋CD→|≥|CD→|C．|AB→＋CD→|≥|AB→|＋|CD→|D．|AB→＋CD→||AB→|＋|CD→|解析：由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b共线的时候取等号，所以本题中，|AB→＋CD→||AB→|＋|CD→|.答案：D4．化简：AB→－AC→＋BD→－CD→＋AD→＝________.解析：原式＝CB→＋BC→＋AD→＝AD→.答案：AD→题型一向量的线性运算[经典例题]例1(1)计算：①4(a＋b)－3(a－b)－8a；②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)．(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)．【解析】(1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b.②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.(2)原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a＝13－1－1a＋－1＋23＋2b＝－53a＋53b＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j)＝－5＋103i＋－103－53j＝－53i－5j.状元随笔(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)对于向量的线性运算，关键是把握运算顺序，即先根据运算律去括号，再进行数乘运算，最后进行向量的加减．方法归纳向量线性运算的基本方法(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．跟踪训练1化简：(1)123a＋2b－a＋12b－212a＋38b；(2)234a－3b＋13b－146a－7b.解析：(1)原式＝122a＋32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.(2)原式＝234a－3b＋13b－32a＋74b＝234－32a＋－3＋13＋74b＝2352a－1112b＝53a－1118b.先由运算律去括号，再进行数乘运算．题型二向量线性运算的应用[教材P149例3]例2如图所示，已知AD→＝23AB→，AE→＝23AC→，求证：DE→＝23BC→.【解析】由已知得DE→＝AE→－AD→＝23AC→－23AB→＝23(AC→－AB→)＝23BC→.教材反思(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)A，P，B三点共线⇔OP→＝(1－t)OA→＋tOB→(O为平面内任一点，t∈R)．(5)OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练2(1)设m，n是两个不共线的向量，若AB→＝m＋5n，BC→＝－2m＋8n，CD→＝4m＋2n，则()A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线(2)若a，b是两个不共线的向量，AB→＝2a＋kb，BC→＝a＋b，CD→＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________．解析：(1)因为BD→＝BC→＋CD→＝2m＋10n＝2AB→，且BD→与AB→有公共点B，故A，B，D三点共线．(2)因为A，B，D三点共线，所以向量AB→与向量BD→共线，所以AB→＝λBD→，由BC→＝a＋b，CD→＝2a－b，得BD→＝BC→＋CD→＝3a，所以2a＋kb＝λ(3a)，所以k＝0.答案：(1)A(2)0状元随笔(1)若一个向量可以由另一个非零向量线性表示，则可以判断两个向量共线；(2)若两个向量共线，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示．