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一元二次函数、方程和不等式第二章复习课(二)一元二次函数、方程和不等式考点一基本不等式利用基本不等式a＋b≥2ab(a0，b0)求最值，要抓住“一正，二定，三相等”的条件，三者缺一不可，和为定值积有最大值，积为定值和有最小值．【典例1】(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.245B.285C．5D．6(2)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是()A.43B.53C．2D.54[解析](1)因为x＋3y＝5xy，1y＋3x＝5，所以3x＋4y＝15(3x＋4y)·1y＋3x＝153xy＋12yx＋135≥15×2×36＋135＝5.当且仅当3xy＝12yx，即x＝1，y＝12时等号成立，所以3x＋4y的最小值是5.(2)由4x2＋9y2＋3xy＝30，得2·2x·3y＋3xy≤4x2＋9y2＋3xy＝30，即15xy≤30，xy≤2，此时当且仅当2x＝3y4x2＋9y2＋3xy＝30，即x＝3，y＝233时取得最大值．故答案选C.[答案](1)C(2)C条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．[针对训练]1．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则2x＋y的最小值是________．[解析]解法一：∵x0，y0，∴xy＝12·(2x)·y≤12·2x＋y22，∴2x＋y＋6＝(2x＋y)＋6≤18(2x＋y)2，∴(2x＋y)2－8(2x＋y)－48≥0，令2x＋y＝t，t0，则t2－8t－48≥0，∴(t－12)(t＋4)≥0，∴t≥12，即2x＋y≥12.解法二：由x0，y0,2x＋y＋6＝xy，得xy≥22xy＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)，即(xy)2－22xy－6≥0，∴(xy－32)·(xy＋2)≥0，又∵xy0，∴xy≥32，即xy≥18，∴xy的最小值为18，∵2x＋y＝xy－6，∴2x＋y的最小值为12.[答案]122．已知x1，求函数y＝x2－2x＋22x－2的最小值．[解]∵x1，∴y＝x2－2x＋22x－2＝x－12＋12x－1＝12x－1＋1x－1≥12×2x－1·1x－1＝1，当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，取“＝”，∴当x＝2时，函数y＝x2－2x＋22x－2有最小值为1.考点二一元二次不等式的解法与三个“二次”之间的关系一元二次方程的根就是二次函数的零点，求二次不等式的解一般结合二次函数的图象写出不等式的解．【典例2】(1)已知不等式ax2＋bx＋20的解集为{x|－1x2}，则不等式2x2＋bx＋a0的解集为()A.x|－1x12B.x|x－1或x12C．{x|－2x1}D．{x|x－2或x1}(2)若a为实数，解关于x的不等式ax2＋(a－2)x－20.[解析](1)根据题意x＝－1和x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，于是a－b＋2＝04a＋2b＋2＝0，解得a＝－1b＝1，则2x2＋x－10的解集为x|－1x12.(2)当a＝0时，不等式化为－2x－20，解得{x|x－1}；当a≠0时，不等式化为(x＋1)(ax－2)0，若a0，则不等式化为(x＋1)x－2a0，且－12a，∴不等式的解集为x|－1x2a；若a0，则不等式化为(x＋1)x－2a0，当2a＝－1，即a＝－2时，不等式化为(x＋1)20，解得{x|x≠－1}；当a－2，即2a－1时，不等式的解集为x|x2a或x－1；当－2a0，即2a－1时，不等式的解集为x|x2a或x－1.综上，a＝0时，不等式的解集为{x|x－1}，a0时，不等式的解集为x|－1x2a，－2a0时，不等式的解集为x|x2a或x－1，a＝－2时，不等式的解集为{x|x≠－1}，a－2时，不等式的解集为x|x2a或x－1.[答案](1)A(2)见解析解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．[针对训练]3．若不等式(1－a)x2－4x＋60的解集是{x|－3x1}．(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a0；(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.[解](1)由题意，知1－a0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，∴1－a0，41－a＝－261－a＝－3，解得a＝3.∴不等式2x2＋(2－a)x－a0即为2x2－x－30，解得x－1或x32.∴所求不等式的解集为x|x－1或x32.(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式解集为R，则b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6.